Bagaimana cara membangun volume hingga seimbang dan metode Galerkin diskontinyu untuk PDE hiperbolik dengan istilah sumber?

Sumber istilah, seperti yang karena batimetri dalam persamaan air dangkal, perlu diintegrasikan dengan cara khusus untuk menjaga keadaan fisik stabil. Apakah ada cara umum untuk membangun metode yang seimbang, atau apakah itu memerlukan teknik khusus untuk setiap persamaan?

Jawaban singkatnya adalah: ini membutuhkan kerja khusus untuk persamaan yang berbeda, tetapi ada beberapa teknik umum yang menyarankan cara melakukannya. Intinya, diberikan PDE evolusi orde pertama

dimana $A,B$ adalah beberapa (mungkin diferensial) operator, kondisi tunak adalah yang mana

Adalah umum untuk menggunakan pendekatan pemisahan di mana $A$ dan $B$didiskritisasi dengan berbagai cara. Kemudian akan ada kesalahan pemotongan terkait dengan masing-masing diskritisasi ini, dan kesalahan pemotongan umumnya tidak akan membatalkan bahkan dalam kasus kondisi stabil. Contoh klasik (seperti yang disebutkan dalam pertanyaan) adalah persamaan air dangkal dengan batimetri, di mana$A$ mewakili istilah konvektif dan $B$mewakili momentum pemaksaan karena variabel ketinggian bawah. Ada banyak makalah yang diterbitkan dalam beberapa tahun terakhir yang memberikan cara berbeda untuk mempertahankan solusi steady state dengan tepat.

Salah satu pendekatan yang saya suka adalah penggunaan pemecah gelombang Riemann f- seperti yang diusulkan oleh Bale et. Al. . Idenya adalah untuk mendiskreditkan istilah konvektif dengan metode tipe Godunov, tetapi untuk mengurangi kontribusi dari istilah lain di dalam pemecah Riemann. Maka dalam kasus kondisi mapan, tidak ada gelombang yang dihasilkan. Namun, ini mensyaratkan bahwa istilah konvektif dan sumber dihitung dengan tepat (sehingga membatalkan dengan tepat). Itu mungkin untuk persamaan air dangkal, tetapi lebih sulit untuk banyak sistem lainnya.