Menggunakan iterasi titik tetap untuk memisahkan sistem pde

Misalkan saya memiliki masalah nilai batas:

\frac{d^{2} u}{d x^{2}} + \frac{d v}{d x} = f in Ω

$\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{dv}{dx}=f \text{ in } \Omega$

\frac{d u}{d x} + \frac{d^{2} v}{d x^{2}} = g in Ω

$\frac{du}{dx} +\frac{d^2v}{dx^2} =g \text{ in } \Omega$

u = h in \partial Ω

$u=h \text{ in } \partial\Omega$

Tujuan saya adalah untuk menguraikan solusi dari masalah ini menjadi urutan PDE yang tidak dapat dipisahkan. Untuk memisahkan sistem, saya menerapkan titik iterasi tetap selama urutan perkiraan $(u^k,v^k)$ sehingga

\frac{d^{2} u^{k}}{d x^{2}} + \frac{d v^{k - 1}}{d x} = f

$\frac{d^2u^k}{dx^2} + \frac{dv^{k-1}}{dx}=f$

\frac{d u^{k - 1}}{d x} + \frac{d^{2} v^{k}}{d x^{2}} = g

$\frac{du^{k-1}}{dx} +\frac{d^2v^k}{dx^2} =g$

Secara teoritis, ini akan memungkinkan saya untuk menyelesaikan kedua persamaan sebagai PDE elips murni. Namun, saya belum pernah melihat iterasi titik tetap diterapkan pada PDE dengan cara ini. Saya telah melihat iterasi titik tetap diterapkan pada persamaan diskritisasi numerik (metode beda hingga, metode elemen hingga, dll.), Tetapi tidak pernah ke persamaan kontinu secara langsung.

Apakah saya melanggar prinsip matematika yang terang-terangan dengan melakukan ini? Apakah ini valid secara matematis? Bisakah saya memecahkan PDE berpasangan sebagai urutan PDE yang tidak terpisahkan dengan menggunakan iterasi titik tetap yang diterapkan pada masalah variabel LANJUTKAN, daripada masalah variabel DISCRETE?

Pada titik ini, saya tidak benar-benar peduli dengan apakah praktis untuk menggunakan metode ini, tetapi apakah itu secara teori masuk akal. Umpan balik akan sangat dihargai!

pde iterative-method

— Paul
sumber

Dalam literatur PDE hiperbolik, langkah fraksional dan metode pemisahan operator semacam melakukan apa yang Anda gambarkan di atas.

— Geoff Oxberry

(u^{k}, v^{k})

$(u^k, v^k)$

(u^{k}, p^{k})

$(u^k, p^k)$

@ BillBarth: Ya! Saya baru saja memperbaikinya.

— Paul

@ GeoffOxberry: Saya menemukan pemisahan operator menjadi sangat berbeda dalam karakter.

— anonim

@ Paul: Saya bisa memikirkan setidaknya satu masalah lain di mana "digabungkan PDE" diselesaikan melalui iterasi titik tetap (dan tidak hanya diformulasikan sebagai masalah titik tetap): dekomposisi domain, lihat misalnya metode Neumann-Dirichlet. (perbedaannya di sini adalah bahwa Anda memiliki dua PDE tetapi mereka hidup di domain yang berbeda dan sambungan hanya melalui antarmuka).

— anonim

$C^{\infty}(\Omega)\times C^{\infty}(\Omega)$

\frac{d^{2} u^{k}}{d x^{2}} + \frac{d v^{k - 1}}{d x} = f \frac{d^{2} v^{k}}{d x^{2}} + \frac{d u^{k - 1}}{d x} = g

$\frac{\text{d}^2u^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} v^{k-1}}{\text{d} x} =f\\ \frac{\text{d}^2v^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} u^{k-1}}{\text{d} x} =g\\$ (ditambah kondisi batas).

Jelas bahwa jika urutan ini menyatu, itu akan menjadi solusi dari rangkaian PDE asli Anda.

$x^k\to x^{k+1}$ $u^0$ $v^0$

‖ (\begin{matrix} u^{k} \\ v^{k} \end{matrix}) - (\begin{matrix} {\hat{u}}^{k} \\ {\hat{v}}^{k} \end{matrix}) ‖ \leq q ‖ (\begin{matrix} u^{k - 1} \\ v^{k - 1} \end{matrix}) - (\begin{matrix} {\hat{u}}^{k - 1} \\ {\hat{v}}^{k - 1} \end{matrix}) ‖

$\left\| \begin{pmatrix} u^k\\ v^k \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^k\\ \hat{v}^k \end{pmatrix} \right\| \le q \left\| \begin{pmatrix} u^{k-1}\\ v^{k-1} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^{k-1}\\ \hat{v}^{k-1} \end{pmatrix} \right\|$

| q | < 1

$|q|<1$

(u^{k - 1}, v^{k - 1})

$(u^{k-1}, v^{k-1})$

({\hat{u}}^{k - 1}, {\hat{v}}^{k - 1})

$(\hat{u}^{k-1}, \hat{v}^{k-1})$

Logika ini berfungsi baik dalam ruang kontinu maupun diskrit.

— Nico Schlömer
sumber

Bukankah ?

| q | < 1

$|q|<1$

— Paul