Mengapa sulit untuk menyelesaikan secara numerik persamaan Schrödinger yang bergantung pada waktu dari banyak elektron

Tampaknya orang biasanya menggunakan pendekatan Single Active Electron (SAE) untuk menangani sistem multi-elektron, mengubah masalah menjadi masalah elektron tunggal. Sebagai contoh, dalam memecahkan masalah atom helium secara numerik dengan medan laser, orang biasanya memperkirakan memasukkan efek elektron-elektron oleh potensi semu dan pada dasarnya menyelesaikan masalah satu elektron. Jadi mengapa sulit untuk menyelesaikan secara numerik persamaan Schrödinger multi-elektron yang bergantung waktu? Apakah jauh lebih sulit daripada masalah klasik n-body? Aku pernah melihat ada banyak klasik besar masalah -body diselesaikan secara numerik dalam astronomi bahkan secara real time, misalnya di sini mensimulasikan secara real time tabrakan dua galaksi yang melibatkan 280.000 partikel interaksi. $n$

pde quantum-mechanics

— xslittlegrass
sumber

Selain kesulitan, ada juga utilitas yang mendorong inovasi. Masalah astrofisika

non-manusia membutuhkan evolusi waktu. Di sisi lain, ada banyak hal yang dapat Anda lakukan dengan atom multi-elektron yang memiliki sedikit atau tidak ada ketergantungan waktu, seperti menemukan tingkat energi. Dengan kata lain, ada lebih banyak aplikasi yang melibatkan keadaan tunak untuk atom daripada untuk menabrak galaksi.

n

$n$

Mungkin, tapi saya pikir itu intinya. Bahkan perhitungan kuantum stasioner jauh lebih mahal. Tetapi bahkan kemudian, perhitungan kuantum tergantung waktu sangat relevan - mereka terlalu mahal untuk dilakukan di hampir semua kasus praktis, dan ini menjelaskan mengapa itu belum dilakukan di masa lalu.

— Wolfgang Bangerth

Ya, jauh lebih sulit untuk melakukannya. Untuk masalah body, yang perlu Anda hitung adalah lintasan yang hanya fungsi dari variabel tunggal. $N$ $\mathbf x_i(t), i=1\ldots N$ $N$

Di sisi lain, bahkan untuk satu elektron, solusi persamaan Schroedinger adalah fungsi , yaitu fungsi empat variabel. Untuk dua elektron, Anda mencari fungsi menggambarkan fungsi gelombang sebagai fungsi dari lokasi dua elektron plus waktu. Itu tujuh variabel. $\Psi(x,y,z,t)$ $\Psi(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_3,t)$

Sekarang, jika Anda ingat bagaimana menyelesaikan persamaan diferensial biasa seperti persamaan Newton untuk masalah body, maka Anda perlu menggerakkan setiap persamaan ke depan dengan waktu melangkah dari waktu ke dan menghitung solusi di sana. Jadi, jika Anda membagi interval waktu Anda ke dalam panjang interval maka upaya untuk setiap langkah waktu adalah menggunakan implementasi interaksi interaksi naif (Anda dapat gunakan metode untuk mencapai $N$ $t$ $t+\Delta t$ $[0,T]$ $M$ $\Delta t=T/M$ $N^2M$ $N$ upaya, tapi itu intinya). $N (\log N) M$

Di sisi lain, untuk menemukan fungsi 7 variabel, asumsikan bahwa Anda membagi interval waktu ke dalam sub-suberval seperti di atas, tetapi Anda juga melakukan hal yang sama untuk 6 koordinat spasial. Lalu ada total poin grid untuk dipertimbangkan. Dan secara umum, untuk sistem tubuh kuantum, Anda memiliki . $M$ $M^7$ $N$ $M^{3N+1}$

$N,M$ $M^{3N+1}$ $N^2M$ $N$

— Wolfgang Bangerth
sumber

N^{2} M

$N^2 M$

M^{3 N + 1}

$M^{3N+1}$

Ya memang. Tetapi pada umumnya, Anda tidak dapat menghilangkan kompleksitas kombinatorial.

— Wolfgang Bangerth