Variabel acak seragam diskrit (?) Mengambil semua nilai rasional dalam interval tertutup

Saya baru saja mengalami serangan panik (intelektual).

• Variabel acak kontinu yang mengikuti seragam dalam interval tertutup $U(a,b)$ : konsep statistik yang akrab dengan nyaman.
• Seragam yang berkesinambungan yang memiliki dukungan terhadap real yang diperluas (setengah atau seluruhnya): bukan yang layak, tetapi konsep Bayesian dasar untuk prior, berguna, dan dapat diterapkan yang tidak tepat.
• Seragam diskrit yang mengambil sejumlah nilai terbatas: mari kita lempar kubah geodesik, bukan masalah besar.

Tetapi bagaimana dengan fungsi yang memiliki domain sebagai semua rasional yang termasuk dalam interval tertutup dengan batas integer (mulai dengan jika Anda mau)? Dan kami ingin menggunakannya dalam kerangka probabilistik, mensyaratkan bahwa setiap nilai yang mungkin memiliki probabilitas yang sama dengan yang lainnya?$[0,1]$

Jumlah nilai yang mungkin sangat tak terhingga (yang menjadi ciri banyak distribusi diskrit), tetapi bagaimana cara mengekspresikan probabilitas dari nilai tunggal mengingat kita menginginkan probabilitas yang sama?

Bisakah kita mengatakan-tunjukkan-buktikan bahwa entitas seperti itu (bukan) variabel acak?

Jika tidak, apakah ini inkarnasi lain (mungkin sudah terkenal) dari "prior yang tidak patut"?

Mungkinkah entitas ini dalam arti tertentu, betapapun spesial, "setara" dengan rv seragam yang kontinyu? Atau saya hanya melakukan dosa kardinal?

Tampaknya fakta bahwa domain adalah interval tertutup tidak membiarkan saya melepaskannya. Hal-hal yang dibatasi biasanya dapat dikelola.

Banyak pertanyaan untuk menjadi indikasi masalah internal - saya tidak meminta untuk mendapatkan jawaban untuk masing-masing dari mereka.

Kapan saja saya dapat memberikan wawasan, saya akan memperbarui.

UPDATE: pertanyaan ini baru saja memperoleh sekuel konstruktivis di sini.

"Variabel acak" ini mirip dengan gagasan memiliki flat sebelumnya pada seluruh baris nyata (contoh kedua Anda).

Untuk menunjukkan bahwa tidak ada variabel acak sehingga P ( X = q ) = c untuk semua q ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] dan konstanta c , kita menggunakan ) = 0 , karena merupakan jumlah dari banyak yang dapat dihitung nol Jika c > 0 , maka P ( X ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] ) = ∞ . Namun variabel acak yang tepat mengambil nilai dalam$X$$P(X=q)=c$$q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$$c$properti σ -itif dari variabel acak: penyatuan yang dapat dihitung dari acara terpisah memiliki probabilitas yang sama dengan jumlah (mungkin tak terbatas) probabilitas peristiwa. Jadi, jika c = 0 , probabilitas P ( X ∈ Q ∩ [ 0 , 1 $\sigma$$c=0$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=0$$c>0$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=\infty$ harus sedemikian rupa sehingga P ( X ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] ) = 1 , sehingga tidak ada variabel acak tersebut.$\mathbb{Q}\cap[0,1]$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=1$

Kuncinya di sini, seperti yang mungkin sudah Anda sadari, adalah bahwa jika ruang terdiri dari banyak titik, maka kita dapat menggunakan dan tidak memiliki masalah dengan penjumlahan, dan jika ruang memiliki banyak titik yang tak terhitung banyaknya Anda dapat memiliki c = 0 dan -asitifitas σ tidak dilanggar ketika berintegrasi dengan spasi karena itu adalah pernyataan tentang hal-hal yang dapat dihitung . Namun Anda akan mengalami masalah ketika Anda menginginkan distribusi seragam pada set yang tak terhitung jumlahnya.$c>0$$c=0$$\sigma$

Dalam konteks sebelumnya Bayesian, tentu saja Anda dapat mengatakan bahwa untuk semua q ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] jika Anda bersedia menggunakan prior yang tidak tepat.$P(X=q)\propto 1$$q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$

Fakta yang lebih positif adalah sebagai berikut.
Jika Anda menjatuhkan persyaratan bahwa ukuran probabilitas adalah aditif yang dapat dihitung, dan hanya membutuhkan, sebagai gantinya, bahwa itu menjadi aditif yang halus (hanya demi pertanyaan ini), maka untuk bilangan rasional jawabannya adalah "ya".
Bilangan rasional adalah grup aditif karena seseorang dapat menambahkan dua bilangan rasional, ada elemen netral, nol, dan sembarang memiliki invers aditif - z ∈ Q . Sekarang, orang dapat melengkapi bilangan rasional dengan topologi diskrit sehingga mereka adalahkelompok diskrit. (Ini penting karena dalam konteks lain lebih mudah untuk tidak melakukannya dan menempatkan topologi lain pada mereka.)$z\in\mathbb{Q}$$-z\in\mathbb{Q}$

Dilihat sebagai kelompok diskrit, mereka bahkan merupakan kelompok diskrit yang dapat dihitung karena hanya ada banyak bilangan rasional.
Juga, mereka adalah grup abelian karena untuk setiap pasangan bilangan rasional. Sekarang, bilangan rasional, dipandang sebagai kelompok diskrit yang dapat dihitung, adalah kelompok yang setuju. Lihat di sini untuk definisi kelompok diskrit yang dapat menerima. Di sini diperlihatkan bahwa setiap kelompok diskrit abelian yang dapat dihitung dapat diterima. Secara khusus, ini berlaku untuk kelompok bilangan rasional. Oleh karena itu, dengan definisi kelompok diskrit yang dapat menerima, ada ukuran probabilitas aditif yang terbatas $z +y =y+z$

$\mu$pada nomor rasional yang terjemahan invarian, yang berarti bahwa untuk setiap bagian A ⊂ Q dan sejumlah rasional z ∈ Q . Properti ini mencakup cara intuitif untuk mendefinisikan "keseragaman". μ tentu hilang pada semua subset terbatas: μ ( { z } ) = 0 untuk semua z ∈ Q .$\mu(z + A) = \mu(A)$$A\subset\mathbb{Q}$$z\in\mathbb{Q}$

$\mu$$\mu(\{z\})=0$$z\in\mathbb{Q}$
Jika Anda mencari variabel acak alih-alih ukuran probabilitas, maka cukup pertimbangkan fungsi identitas pada ruang probabilitas . Ini memberikan variabel acak yang diperlukan. Karena itu, jika Anda sedikit merelaksasi definisi probabilitas Anda, Anda akan mendapatkan jawaban positif untuk bilangan rasional. Mungkin, keberadaan μ tampaknya agak kontra-intuitif. Orang bisa mendapatkan ide yang lebih baik tentang μ dengan memperhitungkan bahwa konsekuensi langsung dari terjemahan-invarian adalah bahwa ukuran semua bilangan rasional yang lantainya genap, adalah setengah; juga, ukuran orang-orang dengan lantai aneh adalah setengahnya, dan seterusnya. Ukuran itu $(\mathbb{Q}, \mu)$

$\mu$$\mu$
$\mu$yang baru saja kita tunjukkan ada, juga harus lenyap pada semua himpunan bagian terikat (seperti yang dapat ditunjukkan dengan argumen serupa), khususnya pada interval satuan.
Oleh karena itu, tidak segera memberikan jawaban untuk bilangan rasional dalam satuan interval. Orang akan berpikir bahwa jawabannya lebih mudah untuk memberikan bilangan rasional dalam interval satuan daripada semua bilangan rasional, tetapi tampaknya sebaliknya. (Namun, tampaknya juga seseorang dapat memasak ukuran probabilitas pada bilangan rasional dalam interval satuan dengan sifat yang serupa, tetapi jawabannya kemudian akan membutuhkan definisi yang lebih tepat tentang "keseragaman" - mungkin sesuatu di sepanjang baris "translation- invarian setiap kali terjemahan tidak mengarah di luar interval unit ".)$\mu$

PEMBARUAN: Anda segera mendapatkan ukuran pada rasional interval unit yang seragam dalam arti itu, dengan mempertimbangkan ukuran push-forward dari yang di rasional, yang kami buat, di sepanjang peta dari rasional ke rasional unit interval yang memetakan masing-masing rasional untuk bagian fraksinya.
Oleh karena itu, setelah melonggarkan persyaratan untuk menambah aditif, Anda mendapatkan langkah-langkah tersebut dalam kedua kasus yang Anda sebutkan.