Membangun rv diskrit memiliki sebagai mendukung semua rasional di

Ini adalah sekuel konstruktivis dari pertanyaan ini .

Jika kita tidak dapat memiliki variabel acak seragam diskrit yang mendukung semua rasional dalam interval , maka hal terbaik berikutnya adalah: $[0,1]$

Bangun variabel acak yang memiliki dukungan ini, , dan itu mengikuti beberapa distribusi. Dan pengrajin di dalam saya mensyaratkan bahwa variabel acak ini dibangun dari distribusi yang ada, daripada dibuat dengan mendefinisikan secara abstrak apa yang ingin kita dapatkan. $Q$ $Q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$

Jadi saya datang dengan yang berikut:

Misalkan menjadi variabel acak diskrit mengikuti Geometric Distribution-Variant II dengan parameter , yaitu $X$ $0<p<1$

X \in {0, 1, 2, . . .}, P (X = k) = (1 - p)^{k} p, F_{X} (X) = 1 - (1 - p)^{k + 1}

$X \in \{0,1,2,...\},\;\;\;\; P(X=k) = (1-p)^kp,\;\;\; F_X(X) = 1-(1-p)^{k+1}$

Biarkan juga menjadi variabel acak diskrit mengikuti Geometrik Distribusi-Varian I dengan parameter identik , yaitu $Y$ $p$

Y \in {1, 2, . . .}, P (Y = k) = (1 - p)^{k - 1} p, F_{Y} (Y) = 1 - (1 - p)^{k}

$Y \in \{1,2,...\},\;\;\;\; P(Y=k) = (1-p)^{k-1}p,\;\;\; F_Y(Y) = 1-(1-p)^k$

$X$ dan bersifat independen. Tentukan sekarang variabel acak $Y$

Q = \frac{X}{Y}

$Q = \frac {X}{Y}$

dan pertimbangkan distribusi kondisional

P (Q \leq q ∣ {X \leq Y})

$P(Q\leq q \mid \{X\leq Y\})$

Dalam kata-kata yang longgar, " bersyarat adalah rasio atas bersyarat pada lebih kecil atau sama dengan " Dukungan distribusi bersyarat ini adalah . $Q$ $X$ $Y$ $X$ $Y$ $\{0,1,1/2,1/3,...,1/k,1/(k+1),...,2/3,2/4,...\} = \mathbb{Q}\cap[0,1]$

"Pertanyaan" adalah: Dapatkah seseorang tolong berikan fungsi massa probabilitas bersyarat terkait?

Sebuah komentar bertanya "haruskah itu tertutup"? Karena apa yang merupakan bentuk tertutup saat ini tidak begitu jelas, biarkan saya katakan: kita mencari bentuk fungsional di mana kita dapat memasukkan bilangan rasional dari , dan memperoleh probabilitas (untuk beberapa nilai yang ditentukan dari parameter tentu saja), yang mengarah ke grafik indikatif dari PMF. Dan kemudian bervariasi untuk melihat bagaimana grafik berubah. $[0,1]$ $p$ $p$

Jika itu membantu, maka kita dapat membuat satu atau kedua batas dari dukungan terbuka, meskipun varian ini akan menghilangkan kemampuan kita untuk secara jelas menggambarkan nilai atas dan / atau lebih rendah dari PMF . Juga, jika kita membuka batas atas, maka kita harus mempertimbangkan acara pengkondisian . $\{X<Y\}$

Atau, saya juga menyambut rv lain yang memiliki dukungan ini, asalkan mereka datang bersama dengan PMF mereka .

Saya menggunakan distribusi Geometrik karena sudah tersedia dua varian dengan yang tidak termasuk nol dalam dukungan (sehingga pembagian dengan nol dihindari). Jelas, seseorang dapat menggunakan rv diskrit lain, menggunakan beberapa pemotongan.

Saya pasti akan memberi hadiah pada pertanyaan ini, tetapi sistem tidak segera mengizinkan ini.

distributions mathematical-statistics

— Alecos Papadopoulos
sumber

Apakah yang Anda maksud ? (mendefinisikan variabel acak dengan syarat pada sesuatu tidak masuk akal, Anda hanya bisa mendefinisikan distribusinya dengan cara ini)

Q = \frac{X}{Y} 1_{{X \leq Y}}

$Q = \frac {X}{Y} {\boldsymbol 1}_{\{X\leq Y\}}$

— Stéphane Laurent

Q Anda dapat dihitung: Anda tahu ada korespondensi 1-1 antara N = {1, 2, ...} dan Q. Jika Anda dapat menemukan korespondensi seperti itu, solusinya adalah dengan memilih distribusi apa pun di atas N dan menggunakannya untuk memilih elemen yang sesuai dari Q.

— Adrian

lagi pula Anda harus menghitung untuk setiap fraksi yang tidak dapat direduksi dan ini adalah .

P r (X / Y = p / q)

$Pr(X/Y=p/q)$

p / q

$p/q$

Pr (X = p, X = 2 p, \dots) \times Pr (Y = q, Y = 2 q, \dots)

$\Pr(X=p, X=2p, \ldots)\times\Pr(Y=q, Y=2q, \ldots)$

— Stéphane Laurent

Apakah persyaratan untuk menyediakan PMF berarti bahwa formulir tertutup diperlukan? Atau, misalnya, jumlah tak terbatas @ StéphaneLaurent cukup untuk memenuhi persyaratan?

— Juho Kokkala

Misalkan dan Y the RV dalam posting Anda.

f : N \to Q \cap [0, 1]

$f: N \rightarrow \mathbb{Q}\cap[0,1]$

P r [Q = q] = P r [Y = f^{- 1} (q)]

$Pr[Q =q] = Pr[Y = f^{-1}(q)]$

— Adrian

Jawaban:

Pertimbangkan distribusi diskrit dengan dukungan pada set dengan massa probabilitas $F$ $\{(p,q)\,|\, q \ge p \ge 1\}\subset \mathbb{N}^2$

F (p, q) = \frac{3}{2^{1 + p + q}} .

$F(p,q) = \frac{3}{2^{1+p+q}}.$

Ini mudah disimpulkan (semua seri yang terlibat adalah geometris) untuk menunjukkan itu benar-benar distribusi (probabilitas total adalah satu).

Untuk setiap nomor nol rasional membiarkan menjadi representasi dalam hal terendah: yaitu, dan . $x$ $a/b=x$ $b\gt 0$ $\gcd(a,b)=1$

$F$ menginduksi distribusi diskrit pada melalui aturan $G$ $[0,1]\cap \mathbb{Q}$

G (x) = G (\frac{a}{b}) = \sum_{n = 1}^{\infty} F (a n, b n) = \frac{3}{2^{1 + a + b} - 2} .

$G(x) = G\left(\frac{a}{b}\right) = \sum_{n=1}^\infty F\left(an, bn\right)=\frac{3}{2^{1+a+b}-2}.$

(dan ). Setiap bilangan rasional dalam memiliki probabilitas nol (Jika Anda harus memasukkan antara nilai-nilai dengan probabilitas positif, ambil saja beberapa probabilitas dari angka lain - seperti - dan tetapkan ke ) $G(0)=0$ $(0,1]$ $0$ $1$ $0$

Untuk memahami konstruksi ini, lihat penggambaran : $F$

[Gambar F]

$F$ memberikan massa probabilitas pada semua titik dengan koordinat integral positif. Nilai-nilai diwakili oleh area berwarna simbol-simbol lingkaran. Garis memiliki kemiringan untuk semua kemungkinan kombinasi koordinat dan muncul dalam plot. Mereka diwarnai dengan cara yang sama dengan simbol lingkaran: sesuai dengan kemiringannya. Dengan demikian, kemiringan (yang jelas berkisar dari sampai ) dan bersesuaian warna pada argumen dari dan nilai-nilai diperoleh dengan menjumlahkan bidang semua kalangan berbaring di setiap baris. Misalnya, $p,q$ $F$ $p/q$ $p$ $q$ $0$ $1$ $G$ $G$ $G(1)$ diperoleh dengan menjumlahkan area semua lingkaran (merah) di sepanjang diagonal utama kemiringan , yang diberikan oleh = . $1$ $F(1,1)+F(2,2)+F(3,3)+\cdots$ $3/8 + 3/32 + 3/128 + \cdots = 1/2$

Angka

Gambar ini menunjukkan perkiraan dicapai dengan membatasi : ia memplot nilai-nilainya pada bilangan rasional mulai dari hingga . Massa probabilitas terbesar adalah . $G$ $q\le 100$ $3044$ $1/100$ $1$ $\frac{1}{2},\frac{3}{14},\frac{1}{10},\frac{3}{62},\frac{3}{62},\frac{1}{42},\ldots$

Berikut ini adalah CDF penuh (akurat untuk resolusi gambar). Keenam angka yang baru saja terdaftar memberikan ukuran lompatan yang terlihat, tetapi setiap bagian dari CDF terdiri dari lompatan, tanpa kecuali: $G$

Gambar 2

— whuber
sumber

Terima kasih! Saya sedang dalam proses memahami konstruksi. Hanya dua pertanyaan: a) adalah bivariat, tetapi dalam ungkapan yang menghubungkannya dengan ia tampak sebagai univariat. Apakah saya melewatkan sesuatu? dan b) Karena adalah univariat, saya kira semua titik dalam grafik pertama yang tampak mengesankan mewakili nilai yang berbeda pada sumbu horizontal (meskipun tentu saja ini tidak dapat dengan setia diwakili dalam skala seperti itu), apakah saya benar?

F

$F$

G

$G$

G

$G$

— Alecos Papadopoulos

Saya baru saja menyelesaikan gambar yang mungkin membahas komentar Anda, Alecos, dan telah menambahkannya ke jawabannya. Perhatikan bahwa saya bisa dimulai dengan setiap distribusi diskrit dan dibangun dengan cara yang sama; distribusi khusus ini dipilih untuk mempermudah perhitungan.

F

$F$

G

$G$

— whuber

Mendapat lebih baik dan lebih baik, Adapun pertanyaan pertama saya di komentar sebelumnya, haruskah itu alih-alih ? Yaitu dan ?

F (\frac{a}{b}, n)

$F\left(\frac ab,n\right)$

F (\frac{a}{b} n)

$F\left(\frac abn\right)$

p = a / b

$p=a/b$

q = n

$q=n$

— Alecos Papadopoulos

Ini jawaban yang lebih baik dari saya! Saya perhatikan dua hal kecil: Saya pikir F (p, q) Anda berjumlah 4 seperti yang tertulis. Juga dalam persamaan di bawah "F menginduksi distribusi diskrit G" Anda harus memiliki F (na, nb) bukan?

— Adrian

@Adrian, Alecos Terima kasih telah menangkap kesalahan ketik itu: angka harus dan notasi untuk jelas salah. Saya akan memperbaikinya segera.

1

$1$

- 1

$-1$

F

$F$

— whuber

Saya akan mengumpulkan komentar saya dan mempostingnya sebagai jawaban hanya untuk kejelasan. Saya berharap Anda tidak akan sangat puas, karena semua yang saya lakukan adalah mengurangi masalah Anda menjadi masalah lain.

Notasi saya:

$Q$ adalah RV yang dukungan adalah - saya adalah tidak sama dengan konstruksi OP dari nya . Kami akan mendefinisikan ini menggunakan dan , yang saya perkenalkan di bawah ini. $\mathbb{Q}\cap\left[0,1\right]$ $Q$ $Q$ $\frac{X}{Y}$ $Q$ $Y$ $f$

$Y$ adalah RV mana pun yang dukungannya - diberikan oleh OP akan berfungsi, misalnya. $\mathbb{N}\equiv\left\{1, 2, \ldots\right\}$ $Y$

$f$ adalah korespondensi satu-ke-satu dan adalah kebalikannya. Kami tahu ini ada. $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Q}\cap\left[0,1\right]$ $f^{-1}$

Sekarang saya mengklaim saya dapat mengurangi masalah Anda menjadi hanya mencari dan : $f$ $f^{-1}$

Biarkan dan Anda selesai. PMF dari adalah . $Q=f\left(Y\right)$ $Q$ $\Pr[Q =q] = \Pr[Y = f^{-1}(q)]$

Edit:

Berikut adalah fungsi g yang memainkan peran , meskipun tidak menjadi korespondensi satu-ke-satu (karena duplikat): $f$

g <- function(y) {
    y <- as.integer(y)
    stopifnot(y >= 1)
    b <- 0
    a <- 0
    for (unused_index in seq(1, y)) {
        if (a >= b) {
            b <- b+1
            a <- 0
        } else {
            a <- a+1
        }
    }
    return(sprintf("q = %s / %s", a, b))
    ## return(a / b)
}

— Adrian
sumber

(+1) Tidak, saya menganggap pendekatan Anda sebagai contoh yang sangat baik tentang bagaimana seseorang dapat berpikir dan menggunakan pendekatan abstrak untuk mencapai hasil dan algortihms yang sangat berlaku . Poin utama seperti yang saya mengerti sekarang, adalah bahwa seseorang dapat memperoleh konstruksi yang diinginkan dengan menggunakan sebagai bentuk fungsional PMF dari setiap distribusi diskrit yang memiliki dukungan . Tentu saja tetap menemukan dan . Karena Anda memiliki pemahaman yang lebih baik tentang pendekatan ini daripada saya, adalah ungkapan "kita tahu ini ada" cara yang sopan untuk mengatakan "tetapi kita tidak tahu bagaimana mereka terlihat seperti"? :)

N \equiv {1, 2, \dots}

$\mathbb{N}\equiv\left\{1, 2, \ldots\right\}$

f

$f$

f^{- 1}

$f^{-1}$

— Alecos Papadopoulos

Lihat jcu.edu/math/vignettes/infinity.htm : Anda bisa menggunakan "pola diagonal" yang serupa. Bagian yang sulit adalah mendapatkan ekspresi untuk . Saya tidak yakin bagaimana melakukan itu, tetapi Anda bisa bertanya di math.stackexchange.com (atau melakukan lebih banyak googling dulu).

f^{- 1}

$f^{-1}$

— Adrian

Di tautan yang Anda berikan, tertulis di beberapa titik: "Perhatikan bahwa tidak perlu menemukan formula untuk korespondensi; yang diperlukan hanyalah kepastian bahwa korespondensi semacam itu ada. Ada banyak contoh lain dalam matematika yang seperti ini. - Di mana intinya adalah untuk menunjukkan bahwa sesuatu harus terjadi atau sesuatu itu ada, daripada benar-benar menunjukkan formula. " Nah, inti dari pertanyaan saya adalah untuk benar - benar menunjukkan formula : Saya menyebut pertanyaan ini "konstruktivis" karena suatu alasan.

— Alecos Papadopoulos

Saya pikir saya dapat memberikan algoritma yang akan bekerja - saya akan memikirkannya sedikit lebih.

— Adrian

Saya memposting sesuatu - memungkinkan Anda mensimulasikan Q, tetapi tidak menyelesaikan masalah PMF.

— Adrian