Jumlah variabel acak terpotong normal

Misalkan saya punya $n$ variabel acak normal independen

$$X_1 \sim \mathrm{N}(\mu_1, \sigma_1^2)\\X_2 \sim \mathrm{N}(\mu_2, \sigma_2^2)\\\vdots\\X_n \sim \mathrm{N}(\mu_n, \sigma_n^2)$$

dan . Bagaimana saya menandai kerapatan jika distribusi setiap masing -masing terpotong ke dalam ? Dengan kata lain, saya mengambil sampel dari distribusi normal independen, membuang sampel yang tidak berada dalam dari setiap rata-rata, dan menjumlahkannya.$Y=X_1+X_2+\dotsm+X_n$$Y$$X_i$$(\mu_i - 2\sigma_i, \mu_i + 2\sigma_i)$$n$$2\sigma_i$

Saat ini, saya melakukan ini dengan kode R di bawah ini:

x_mu <- c(12, 18, 7)
x_sd <- c(1.5, 2, 0.8)
a <- x_mu - 2 * x_sd
b <- x_mu + 2 * x_sd

samples <- sapply(1:3, function(i) {
  return(rtruncnorm(100000, a[i], b[i], x_mu[i], x_sd[i]))
})

y <- rowSums(samples)

Apakah ada metode untuk menghasilkan kerapatan secara langsung?$Y$

Anda bisa menggunakan pendekatan dengan metode saddlepoint, untuk jumlah normals terpotong. Saya tidak akan memberikan detailnya sekarang, Anda dapat melihat jawaban saya untuk jumlah umum distribusi Gamma untuk petunjuk. Yang kita butuhkan adalah menemukan fungsi penghasil momen untuk normal terpotong, yang mudah. Saya akan melakukannya di sini untuk standar normal terpotong$\pm 2$, yang memiliki kepadatan

$$f(x) =\begin{cases} \frac1{C} \phi(x), & |x| \le 2 \\ 0, & |x| > 2 \end{cases}$$ dimana $C=\Phi(2) - \Phi(-2)$ sini $\phi(x), \Phi(x)$ adalah kepadatan dan cdf untuk standar normal, masing-masing.

Fungsi pembangkit momen dapat dihitung sebagai

$$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} M(t) = \E e^{tX}=\frac1{C}\int_{-2}^2 e^{tx} \phi(x)\; dx=\frac1{C}e^{\frac12 t^2} [\Phi(2-t)-\Phi(-2-t) ]$$ dan kemudian kita bisa menggunakan pendekatan saddlepoint.

Saya ingin tahu mengapa, tapi ya, ada cara sederhana untuk menghasilkan pdf dari jumlah distribusi ini:

## install.packages("truncnorm")
## install.packages("caTools")
library(truncnorm)

x.mu <- c(12, 18, 7)
x.sd <- c(1.5, 2, 0.8)
x.a <- x.mu - 2*x.sd
x.b <- x.mu + 2*x.sd

dmulti <- function(x, a, b, mu, sd)
  rowSums(
    sapply(1:length(mu),
           function(idx)
             dtruncnorm(x, a=a[idx], b=b[idx], mean=mu[idx], sd=sd[idx])))/length(mu)
pmulti <- function(q, a, b, mu, sd)
  rowSums(
    sapply(1:length(mu),
           function(idx)
             ptruncnorm(q, a=a[idx], b=b[idx], mean=mu[idx], sd=sd[idx])))/length(mu)

pointrange <- range(c(x.a, x.b))
pointseq <- seq(pointrange[1], pointrange[2], length.out=100)
## Plot the probability density function
plot(pointseq, dmulti(pointseq, x.a, x.b, x.mu, x.sd),
     type="l")

## Plot the cumulative distribution function
plot(pointseq, pmulti(pointseq, x.a, x.b, x.mu, x.sd),
     type="l")