Teori Nilai Ekstrim: Parameter GEV lognormal

Distribusi lognormal milik domain daya tarik maksimum Gumbel , di mana:

$F^{logN}(x; \mu,\sigma)=\Phi\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right)$ ,

$F^{Gum}(x;\mu,\beta) = e^{-\exp\left({-\frac{x-\mu}{\beta}}\right)}$

Pertanyaan saya : Apakah kita memiliki dan ?$\mu=\mu$$\sigma=\beta$

The distribusi nilai ekstrim juga menggunakan notasi (Gumbel adalah batas kasus ), dan membandingkan CDFS untuk Standar-Lognormal dan Standard-Gumbel lagi akan berarti parameter bertepatan. Tapi saya tidak yakin tentang itu, karena Gumbel adalah kasus terbatas dari Maxima Lognormal, jadi mungkin ada beberapa transformasi parameter juga.$\beta=\sigma$$\xi =0$

Biarkan dengan arti bahwa rv normal dengan mean dan standar deviasi . Mempertimbangkan , kita tahu bahwa ada dua urutan dan sedemikian rupa sehingga$X_i \sim_{\text{i.i.d}} \text{LNorm}(\mu,\,\sigma)$$\log X_i$$\mu$$\sigma$$M_n := \max_{1 \leqslant i \leqslant n} X_i$$a_n >0$$b_n$

$$\tag{1} \frac{M_n - b_n}{a_n} \to \text{Gum}(0, 1)$$

di mana menunjukkan distribusi Gumbel dengan lokasi dan skala . Ini berarti untuk semua .$\text{Gum}(\nu,\,\beta)$$\nu$$\beta$$F_{M_n}(a_n x + b_n) \to F_{\text{Gum}}(x;\,0,\,1)$$x$

Jelas sekali dua urutan dan bergantung pada dan , sehingga mereka dapat dilambangkan sebagai dan . Misalnya jika digantikan oleh maka distribusi digantikan oleh yang dari dan distribusi diganti dengan yang dari , menyiratkan bahwa dan harus diganti dengan dan untuk mempertahankan batas yang sama. Demikian pula jika kita mengganti$a_n$$b_n$$\mu$$\sigma$$a_n(\mu,\,\sigma)$$b_n(\mu,\,\sigma)$$\mu$$\mu +1$$X_i$$e X_i$$M_n$$e M_n$$a_n$$b_n$$ea_n$$eb_n$$\mu$oleh dengan tidak berubah, harus diganti oleh dan kemudian dan harus diganti oleh dan .$0$$\sigma$$X_i$$e^{-\mu} X_i$$a_n$$b_n$$e^{-\mu} a_n$$e^{-\mu}b_n$

Pertanyaannya dapat dirumuskan sebagai: jika kita menggunakan urutan dan di sisi kiri (1) - alih-alih jatuh dan - apakah kita mendapatkan di sebelah kanan? Jawabannya kemudian tidak, karena parameter Gumbel memang parameter lokasi dan skala, sementara ini tidak berlaku untuk log-normal. Parameter dari log-normal berdampak pada ekor, seperti dapat dilihat oleh fakta bahwa koefisien variasi meningkat dengan . Sementara selalu tetap berada dalam domain tarik-menarik Gumbel, urutan$a_n(0, 1)$$b_n(0, \,1)$$a_n(\mu,\,\sigma)$$b_n(\mu,\,\sigma)$$\text{Gum}(\mu,\,\sigma)$$\sigma$$\sigma$$\text{LNorm}(\mu,\,\sigma)$$a_n$dan harus cenderung lebih cepat sebagai meningkat. Dapat dibuktikan bahwa kita dapat dalam (1) menggunakan urutan dan sedemikian rupa sehingga lihat Embrechts P., Klüppelberg C. dan Mikosch T. tabel 3.4.4 hal 155 -157. Jika kita menggunakan urutan dan dengan salah , kita tidak akan mendapatkan batas non-degenerasi untuk sisi kiri (1), karena tingkat pertumbuhan dan tidak cocok untuk ekor dari$b_n$$\infty$$\sigma$$a_n$$b_n$

$$b_n(\mu, \sigma) = e^\mu \, b_n(0, 1)^\sigma, \qquad a_n(\mu, \sigma) = \sigma \,(2 \log n)^{-1/2} b_n(\mu,\,\sigma),$$ $a_n$$b_n$$\sigma$$a_n$$b_n$$X_i$ .