Turunkan distribusi Poisson bivariat

Saya baru-baru ini menemukan distribusi Poisson bivariat, tapi saya agak bingung bagaimana itu bisa diturunkan.

Distribusi diberikan oleh:

$P(X = x, Y = y) = e^{-(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{0})} \displaystyle\frac{\theta_{1}^{x}}{x!}\frac{\theta_{2}^{y}}{y!} \sum_{i=0}^{min(x,y)}\binom{x}{i}\binom{y}{i}i!\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)^{i}$

Dari apa yang saya dapat kumpulkan, istilah $\theta_{0}$ adalah ukuran korelasi antara $X$ dan $Y$ ; karenanya, ketika $X$ dan $Y$ bersifat independen, $\theta_{0} = 0$ dan distribusinya hanya menjadi produk dari dua distribusi Poisson univariat.

Mengingat hal ini, kebingungan saya didasarkan pada jangka penjumlahan - Aku menduga istilah ini menjelaskan korelasi antara $X$ dan $Y$ .

Tampak bagi saya bahwa ringkasan merupakan semacam produk fungsi distribusi kumulatif binomial di mana probabilitas "sukses" diberikan oleh $\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)$ dan probabilitas "kegagalan" diberikan oleh $i!^{\frac{1}{min(x,y)-i}}$ , karena $\left(i!^{\frac{1}{min(x,y)-i!}}\right)^{(min(x,y)-i)} = i!$ , tapi aku bisa pergi dengan ini.

Bisakah seseorang memberikan bantuan tentang bagaimana distribusi ini dapat diturunkan? Juga, jika itu dapat dimasukkan dalam jawaban apa pun bagaimana model ini dapat diperluas ke skenario multivarian (katakan tiga atau lebih variabel acak), itu akan bagus!

(Akhirnya, saya telah mencatat bahwa ada pertanyaan serupa yang diposting sebelumnya ( Memahami distribusi bivariat Poisson ), tetapi derivasi itu sebenarnya tidak dieksplorasi.)

— pengguna9171
sumber

Bukankah istilah pertama dengan eksponen adalah alih-alih ?

e^{- (θ_{1} + θ_{2} + θ_{0})}

$e^{-\left( \theta_1 + \theta_2 + \theta_0 \right)}$

e^{θ_{1} + θ_{2} + θ_{0}}

$e^{\theta_1 + \theta_2 + \theta_0}$

— Gilles

@ Giles Maaf, saya salah membaca komentar Anda awalnya - ya, Anda benar; istilah tersebut harus dibaca . Terima kasih telah menangkap itu!

e^{- (θ_{1} + θ_{2} + θ_{0})}

$e^{-(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{0})}$

— user9171

Secara umum, ini bukan "the" untuk versi multivariate dari distribusi univariat, dengan beberapa pengecualian konvensional ("the" multivariate normal misalnya). Ada banyak cara untuk mendapatkan ekstensi multivarian, tergantung pada fitur mana yang paling penting untuk dimiliki. Penulis yang berbeda mungkin memiliki versi multivariat yang berbeda untuk distribusi univariat yang umum. Jadi secara umum, orang mungkin mengatakan sesuatu seperti " sebuah Poisson multivariat", atau 'Jadi-dan-jadi itu bivariat Poisson" Ini adalah salah satu yang cukup alami, tapi bukan satu-satunya..

— Glen_b -Reinstate Monica

(ctd) ... mis. beberapa penulis mencari distribusi multivariat yang mampu ketergantungan negatif, kemampuan yang tidak dimiliki yang satu ini.

— Glen_b -Reinstate Monica

Jawaban:

Dalam presentasi slide , Karlis dan Ntzoufras mendefinisikan Poisson bivariat sebagai distribusi mana secara independen memiliki distribusi Poisson . Ingatlah bahwa memiliki sarana distribusi seperti itu $(X,Y)=(X_1+X_0,X_2+X_0)$ $X_i$ $\theta_i$

Pr (X_{i} = k) = e^{- θ_{i}} \frac{θ_{i}^{k}}{k!}

$\Pr(X_i=k) = e^{-\theta_i}\frac{\theta_i^k}{k!}$

untuk $k=0, 1, 2, \ldots.$

Peristiwa adalah penyatuan yang terpisah dari peristiwa tersebut $(X,Y)=(x,y)$

(X_{0}, X_{1}, X_{2}) = (i, x - i, y - i)

$(X_0,X_1,X_2) = (i,x-i,y-i)$

untuk semua yang membuat ketiga komponen bilangan bulat non-negatif, dari mana kita dapat menyimpulkan bahwa . Karena independen probabilitasnya berlipat ganda, dari mana $i$ $0 \le i \le \min(x,y)$ $X_i$

F_{(θ_{0}, θ_{1}, θ_{2})} (x, y) = Pr ((X, Y) = (x, y)) = \sum_{i = 0}^{min (x, y)} Pr (X_{0} = i) Pr (X_{1} = x - i) Pr (X_{2} = y - i) .

$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)=\Pr((X,Y)=(x,y)) \\= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \Pr(X_0=i)\Pr(X_1=x-i)\Pr(X_2=y-i).$

Ini adalah formula; kita sudah selesai. Tetapi untuk melihat bahwa itu setara dengan rumus dalam pertanyaan, gunakan definisi distribusi Poisson untuk menulis probabilitas ini dalam hal parameter dan (dengan asumsi tidak ada dari adalah nol) secara aljabar agar terlihat sebanyak mungkin seperti produk : $\theta_i$ $\theta_1,\theta_2$ $\Pr(X_1=x)\Pr(X_2=y)$

\begin{aligned} F_{(θ_{0}, θ_{1}, θ_{2})} (x, y) & = \sum_{i = 0}^{min (x, y)} (e^{- θ_{0}} \frac{θ_{0}^{i}}{i!}) (e^{- θ_{1}} \frac{θ_{1}^{x - i}}{(x - i)!}) (e^{- θ_{2}} \frac{θ_{2}^{y - i}}{(y - i)!}) \\ = e^{- (θ_{1} + θ_{2})} \frac{θ_{1}^{x}}{x!} \frac{θ_{2}^{y}}{y!} (e^{- θ_{0}} \sum_{i = 0}^{min (x, y)} \frac{θ_{0}^{i}}{i!} \frac{x! θ_{1}^{- i}}{(x - i)!} \frac{y! θ_{2}^{- i}}{(y - i)!}) . \end{aligned}

$\eqalign{ F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)&= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \left( e^{-\theta_0} \frac{\theta_0^i}{i!}\right) \left( e^{-\theta_1} \frac{\theta_1^{x-i}}{(x-i)!}\right) \left( e^{-\theta_2} \frac{\theta_2^{y-i}}{(y-i)!}\right) \\ &=e^{-(\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\left(e^{-\theta_0}\sum_{i=0}^{\min(x,y)} \frac{\theta_0^i}{i!}\frac{x!\theta_1^{-i}}{(x-i)!}\frac{y!\theta_2^{-i}}{(y-i)!}\right). }$

Jika Anda benar-benar ingin - ini agak sugestif - Anda dapat mengekspresikan kembali istilah dalam jumlah menggunakan koefisien binomial Dan , menghasilkan $\binom{x}{i}=x!/((x-i)!i!)$ $\binom{y}{i}$

F_{(θ_{0}, θ_{1}, θ_{2})} (x, y) = e^{- (θ_{0} + θ_{1} + θ_{2})} \frac{θ_{1}^{x}}{x!} \frac{θ_{2}^{y}}{y!} \sum_{i = 0}^{min (x, y)} i! (\binom{x}{i}) (\binom{y}{i}) {(\frac{θ_{0}}{θ_{1} θ_{2}})}^{i},

$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y) = e^{-(\theta_0+\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\sum_{i=0}^{\min(x,y)}i!\binom{x}{i}\binom{y}{i}\left(\frac{\theta_0}{\theta_1\theta_2}\right)^i,$

persis seperti dalam pertanyaan.

Skenario generalisasi ke multivarian dapat dilanjutkan dalam beberapa cara, tergantung pada fleksibilitas yang dibutuhkan. Yang paling sederhana akan merenungkan distribusi

(X_{1} + X_{0}, X_{2} + X_{0}, \dots, X_{d} + X_{0})

$(X_1+X_0, X_2+X_0, \ldots, X_d+X_0)$

untuk terdistribusi Poisson independen . Untuk lebih fleksibel, variabel tambahan dapat diperkenalkan. Misalnya, gunakan variabel Poisson independen dan pertimbangkan distribusi multivariat dari , $X_0, X_1, \ldots,X_d$ $\eta_i$ $Y_1, \ldots, Y_d$ $X_i + (Y_i + Y_{i+1} + \cdots + Y_d)$ $i=1, 2, \ldots, d.$

— whuber
sumber

pujian! Btw, bukankah seharusnya dalam tanda kurung besar sebelum langkah terakhir adalah ?

e^{- θ_{0}}

$e^{-\theta_0}$

e^{- θ_{2}}

$e^{-\theta_2}$

— Gilles

@Gilles Terima kasih telah menangkap kesalahan ketik - Saya memperbaikinya. Eksponen awal harus ; yang dalam kurung adalah benar.

θ_{0} + θ_{1}

$\theta_0+\theta_1$

θ_{1} + θ_{2}

$\theta_1+\theta_2$

e^{- θ_{0}}

$e^{-\theta_0}$

— whuber

@whuber Terima kasih banyak! Itu jawaban yang sempurna!

— user9171

@whuber Jawaban yang bagus! Saya masih tidak melihat mengapa acara harus menjadi persatuan acara yang terpisah . Saya kira ini hanya berlaku untuk . Mungkin yang Anda maksud (komponen-bijaksana)? Tetapi apakah itu cukup untuk menandai fungsi distribusi?

(X, Y) = (x, y)

$(X,Y) = (x,y)$

(X_{0}, X_{1}, X_{2}) = (i, x - i, y - i)

$(X_0,X_1,X_2)=(i,x-i,y-i)$

i = 0

$i=0$

(X, Y) \leq (x, y)

$(X,Y) \leq (x,y)$

— vanguard2k

@ vanguard2k Saya tidak mengerti komentar Anda. Apakah Anda menegaskan peristiwa itu tidak terputus - putus? (Namun mereka harus, karena mereka memiliki nilai .) Atau apakah Anda menyatakan mereka tidak lengkap? (Jika demikian, berapa nilai ( menurut Anda belum termasuk?)

X_{0}

$X_0$

(X, Y)

$(X,Y)$

— whuber

Berikut adalah cara untuk menurunkan distribusi bivariat poisson.

Biarkan menjadi variabel acak poisson independen dengan parameter . Kemudian kita mendefinisikan . Variabel , umum untuk dan , menyebabkan pasangan $X_0, X_1, X_2$ $\theta_0, \theta_1, \theta_2$ $Y_1=X_0+X_1, Y_2 = X_0+X_2$ $X_0$ $Y_1$ $Y_2$ $(Y_1, Y_2)$ berkorelasi. Maka kita harus menghitung probabilitas massa funtion:

\begin{aligned} P (Y_{1} = y_{1}, Y_{2} = y_{2}) & = P (X_{0} + X_{1} = y_{1}, X_{0} + X_{2} = y_{2}) \\ = \sum_{x_{0} = 0}^{min (y_{1}, y_{2})} P (X_{0} = x_{0}) P (X_{1} = y_{1} - x_{0}) P (X_{2} = y_{2} - y_{0}) \\ = \sum_{x_{0} = 0}^{min (y_{1}, y_{2})} e^{- θ_{0}} \frac{{θ_{0}}^{x_{0}}}{x_{0}!} e^{- θ_{1}} \frac{{θ_{1}}^{y_{1} - x_{0}}}{(y_{1} - x_{0})!} e^{- θ_{2}} \frac{{θ_{2}}^{y_{2} - x_{0}}}{(y_{2} - x_{0})!} \\ = e^{- θ_{0} - θ_{1} - θ_{2}} {θ_{1}}^{y_{1}} {θ_{2}}^{y_{2}} \sum_{x_{0} = 0}^{min (y_{1}, y_{2})} {(\frac{θ_{0}}{θ_{1} θ_{2}})}^{x_{0}} x_{0}! (\binom{y_{1}}{x_{0}}) (\binom{y_{2}}{x_{0}}) \end{aligned}

$\begin{align} P(Y_1=y_1, Y_2=y_2) &= P(X_0+X_1=y_1, X_0+X_2=y_2) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} P(X_0=x_0) P(X_1=y_1-x_0) P(X_2=y_2-y_0) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} e^{-\theta_0} \frac{{\theta_0}^{x_0}}{x_0!} e^{-\theta_1} \frac{{\theta_1}^{y_1-x_0}}{(y_1-x_0)!} e^{-\theta_2} \frac{{\theta_2}^{y_2-x_0}}{(y_2-x_0)!} \\ &= e^{-\theta_0-\theta_1-\theta_2} {\theta_1}^{y_1} {\theta_2}^{y_2} \sum_{x_0=0}^{\min(y_1,y_2)} \left(\frac{\theta_0}{\theta_1 \theta_2}\right)^{x_0} x_0! \binom{y_1}{x_0} \binom{y_2}{x_0} \end{align}$
Semoga ini bisa membantu!

— kjetil b halvorsen
sumber

Hai Kjetil - Saya memperbaiki masalah dengan format (tetapi, ingin mengubah sesedikit mungkin, meninggalkan beberapa kesalahan ketik utuh). Saya tidak mengerti mengapa Anda memposting replika derivasi pada jawaban saya sebelumnya, terutama ketika Anda kehilangan beberapa faktor penting di sepanjang jalan yang menyebabkan hasil akhir salah. Apakah ada poin tertentu yang ingin Anda sampaikan?

T E X

$\TeX$

— whuber

whuber: Saya mulai menulis jawaban saya sebelum jawaban Anda diposting! kalau tidak, saya tidak akan menulisnya.

— kjetil b halvorsen