mana dan didistribusikan secara lognormal

Saya mencoba untuk menghitung ekspektasi untuk arbitrary (untuk ekspektasinya tidak terbatas) jika didistribusikan secara lognormal, yaitu .

E [e^{c X}]

$E[e^{cX}]$

c < 0

$c<0$

c > 0

$c>0$

X

$X$

\log (X) \sim N (μ, σ)

$\log(X) \sim N(\mu, \sigma)$

Gagasan saya adalah menuliskan ekspektasi sebagai integral, tetapi saya tidak melihat bagaimana melanjutkan:

E [e^{c X}] = \frac{1}{\sqrt{2 σ π}} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} \exp (c x - \frac{(\log x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}) d x

$E[e^{cX}] = \frac{1}{\sqrt{2\sigma\pi}}\int_0^\infty \frac{1}{x}\exp\left(cx - \frac{(\log x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)dx$

Saya juga mencoba rumus Itô (tugas sebenarnya adalah menemukan mana adalah gerak Brown geometris, tetapi mengurangi masalah di atas karena kami melihat proses Markov) , tapi itu tidak terlihat sangat menjanjikan juga. Adakah yang bisa membantu saya? $E[e^{cX_T} \mid X_t = x]$ $X$

— Elias Strehle
sumber

Anda harus mempertimbangkan untuk mengedit pertanyaan Anda (dengan mengklik tautan "edit" di kiri bawah) untuk menambahkan tag belajar sendiri ke pertanyaan ini.

— Alexis

Ini hanya ada sebagai seri kekuatan formal yang tidak memiliki ekspresi bentuk tertutup.

— whuber

Terima kasih banyak! Meskipun ini bukan yang saya harapkan, itu juga membuktikan profesor saya salah. Dan itu adalah pencapaiannya sendiri ;-)

— Elias Strehle

Yang Anda inginkan adalah fungsi saat menghasilkan variabel lognormal, yang dikenal sebagai masalah sulit. Atau, ini adalah Transformasi Laplace, yang merupakan ekspresi Anda dengan diganti oleh . Anda harus melihat https://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution yang memiliki beberapa informasi berguna. $c$ $-c$

Makalah "Pada Transformasi Laplace dari distribusi lognormal" oleh Søren Asmussen, Jens Ledet Jensen dan Leonardo Rojas-Nandayapa memberikan perkiraan berikut, yang mereka selidiki secara terperinci. Biarkan menjadi lognormal dengan parameter , yang berarti dengan . Transformasi Laplace adalah mana Jadi kita menganggap Transformasi Laplace . Kemudian mereka memberikan perkiraan untuk : $X$ $(\mu, \sigma^2)$ $X=e^Y$ $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$

E (\exp (- θ e^{y}) = e^{- θ μ} E (\exp (- θ e^{Y_{0}})

$E(\exp(-\theta e^y) = e^{-\theta \mu} E(\exp(-\theta e^{Y_0})$

Y_{0} \sim N (0, σ^{2})

$Y_0 \sim N(0,\sigma^2)$

L (θ) = E (\exp (- θ e^{Y_{0}})

$L(\theta) = E(\exp(-\theta e^{Y_0})$

L (θ)

$L(\theta)$

\frac{1}{\sqrt{1 + W (θ σ^{2})}} \exp {- \frac{1}{2 σ^{2}} W (θ σ^{2})^{2} - \frac{1}{σ^{2}} W (θ σ^{2})}

$\frac1{\sqrt{1+W(\theta \sigma^2)}}\exp\left\{ -\frac1{2\sigma^2} W(\theta \sigma^2)^2 - \frac1{\sigma^2} W(\theta \sigma^2) \right\}$ mana adalah tidak negatif. Di sini adalah fungsi Lambert W, lihat https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function . (Kemudian makalah ini melihat kualitas perkiraan ini, dan membandingkannya dengan perkiraan yang lebih lama).

θ

$\theta$

W

$W$

— kjetil b halvorsen
sumber