Bukti ketidaksetaraan Cantelli

Saya mencoba membuktikan ketidaksetaraan berikut:

EDIT: Hampir segera setelah saya memposting pertanyaan ini, saya menemukan bahwa ketidaksetaraan saya diminta untuk membuktikan disebut ketidaksetaraan Cantelli. Ketika saya menulis ini, saya tidak menyadari ketidaksetaraan khusus ini memiliki nama. Saya telah menemukan banyak bukti melalui Google, jadi saya tidak benar-benar membutuhkan solusi lagi. Namun, saya menjaga pertanyaan ini karena tidak ada bukti yang saya temukan melibatkan melibatkan fakta bahwa , seperti aslinya dimaksudkan.$t=E(t-X)\leq E[(t-X)\mathbb{I}_{X<t}]$

Untuk ,$t \geq 0$

$\mathbb{P}(X-E(X)\geq t)\leq \frac{V(X)}{V(X)+t^2}$

Profesor kami memberi kami "petunjuk" berikut untuk mengatasi hal ini: "Pertama, masalah dengan asumsi lalu gunakan fakta bahwa . "$E(X)=0$$t=E(t-X)\leq E[(t-X)\mathbb{I}_{X<t}]$

EDIT: Agar jelas, dalam notasi saya, mengacu pada fungsi indikator.$\mathbb{I}$

Bagian pertama cukup sederhana. Ini pada dasarnya adalah variasi dari bukti ketidaksetaraan Markov atau Chebychev. Saya melakukannya sebagai berikut:

$V(X)=\int_{-\infty}^{\infty}(x-E(X))^2f(x)dx$

(Saya tahu bahwa, dengan benar, kita harus mengganti dengan, katakanlah, dan dengan ketika mengevaluasi suatu integral. Namun, sejujurnya, saya menemukan bahwa notasi / konvensi menjadi membingungkan yang tidak perlu dan tidak sangat transparan, jadi saya tetap menggunakan notasi saya yang lebih informal.)$x$$u$$f(x)$$f_x(u)$

Jika kita mengasumsikan , maka hal di atas menyederhanakan$E(X)=0$

$V(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)dx$

Demi singkatnya, saya akan melewatkan beberapa langkah, tetapi mudah untuk menunjukkan itu

$V(X)\geq t^2 P(X>t)$ , atau lebih tepatnya . Karena , kita dapat mengganti di sisi kiri yang terakhir dengan .$P(X>t)\leq \frac{V(X)}{t^2}$$E(X)=0$$X$$X-E(X)$

Di sinilah saya mengalami kesulitan untuk bergerak maju. Saya tidak mengerti bagaimana cara menggunakan fakta bahwa . Sekali lagi, karena , kita dapat mengganti dalam untuk . Ini setara dengan . Kemudian, kita dapat menulis ulang dalam penyebut di sisi kanan ketidaksetaraan sebagai , yang karena term tengah yang keluar menyederhanakan menjadi . Tapi aku juga tidak tahu ke mana aku bisa pergi dari sini. Meskipun Anda dapat menulis ulang ini sebagai$t=E(t-X)\leq E[(t-x)\mathbb{I}_{X<t}]$$E(X)=0$$t-E(X)$$t$$E(t-X)$$t^2$$[E(t-X)]^2$$t^2-[E(X)]^2$$t^2+V(X)-E(X^2)$ , yang setidaknya memberi saya$V(X)+t^2$ istilah di tempat yang tepat.

Jelas saya kehilangan sesuatu, di sini, terkait dengan $E(t-X) \leq E[(t-X)\mathbb{I}_{X<t}]$, tapi saya terus terang saja tidak tahu apa yang harus dilakukan dengan istilah ini. Saya memahami secara konseptual apa yang dikatakan istilah ini kepada saya. Secara intuitif, nilai yang diharapkan dari$t-X$ akan menjadi lebih kecil dari jumlah yang sama jika $X$ dibatasi menjadi sangat kurang dari $t$; artinya, istilah yang pertama cenderung negatif, sedangkan yang kedua harus positif. Tetapi saya tidak melihat bagaimana saya bisa menggunakan fakta ini sebagai buktinya.

Saya mencoba "mendistribusikan" di dalam untuk menyederhanakan ...

$E[(t-X)\mathbb{I}_{X<t}]=E[t\mathbb{I}_{X<t} - X\mathbb{I}_{X<t}]=tP(X<t)-?$

Tetapi saya tidak yakin bagaimana cara mengevaluasi .$E(X\mathbb{I}_{X<t}]$

Adakah yang punya ide atau petunjuk?

Mendefinisikan $Y=X-\mathbb{E}[X]$, karena itu $\mathbb{E}[Y]=0$ dan $\mathbb{Var}[Y]=\mathbb{Var}[X]=:\sigma^2=\mathbb{E}[Y^2]$.

Untuk $t,u>0$, menggunakan ketimpangan Markov, yang kita miliki