Penjelasan untuk derajat kebebasan non-integer dalam uji t dengan varian yang tidak sama

Prosedur t-Tes SPSS melaporkan 2 analisis ketika membandingkan 2 cara independen, satu analisis dengan varians sama diasumsikan dan satu dengan varians sama tidak diasumsikan. Derajat kebebasan (df) ketika varians yang sama diasumsikan selalu nilai integer (dan sama dengan n-2). Df ketika varians yang sama tidak diasumsikan adalah non-integer (misalnya, 11,467) dan tidak jauh dari n-2. Saya mencari penjelasan tentang logika dan metode yang digunakan untuk menghitung df non-integer ini.

Df Welch-Satterthwaite dapat ditunjukkan sebagai rata-rata harmonik tertimbang skala dari dua derajat kebebasan, dengan bobot sebanding dengan standar deviasi yang sesuai.

Ekspresi aslinya berbunyi:

$$\nu_{_W} = \frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{s_1^4}{n_1^2\nu_1}+\frac{s_2^4}{n_2^2\nu_2}}$$

Perhatikan bahwa adalah varians yang diestimasi dari mean sampel ke- i atau kuadrat dari kesalahan standar ke- i dari mean . Misalkan r = r 1 / r 2 (rasio estimasi varians rata-rata sampel), jadi$r_i=s_i^2/n_i$$i^\text{th}$$i$$r=r_1/r_2$

$$\begin{align} \nu_{_W} &= \frac{\left(r_1+r_2\right)^2}{\frac{r_1^2}{\nu_1}+\frac{r_2^2}{\nu_2}} \newline \newline &=\frac{\left(r_1+r_2\right)^2}{r_1^2+r_2^2}\frac{r_1^2+r_2^2}{\frac{r_1^2}{\nu_1}+\frac{r_2^2}{\nu_2}} \newline \newline &=\frac{\left(r+1\right)^2}{r^2+1}\frac{r_1^2+r_2^2}{\frac{r_1^2}{\nu_1}+\frac{r_2^2}{\nu_2}} \end{align}$$

$1+\text{sech}(\log(r))$$1$$r=0$$2$$r=1$$1$$r=\infty$$\log r$

Faktor kedua adalah rata-rata harmonik tertimbang :

$$H(\underline{x})=\frac{\sum_{i=1}^n w_i }{ \sum_{i=1}^n \frac{w_i}{x_i}}\,.$$

$w_i=r_i^2$

$r_1/r_2$$\nu_1$$r_1/r_2$$0$$\nu_2$$r_1=r_2$$s_1^2=s_2^2$$\nu_{_W}$

-

Dengan uji-t sama-varians, jika asumsi berlaku, kuadrat penyebut adalah kali konstan variasi chi-kuadrat.

Kuadrat penyebut uji-Welch bukan (waktu konstan) chi-kuadrat; Namun, sering kali perkiraannya tidak terlalu buruk. Diskusi yang relevan dapat ditemukan di sini .

Derivasi gaya buku yang lebih banyak dapat ditemukan di sini .

Yang Anda maksud adalah koreksi Welch-Satterthwaite ke tingkat kebebasan. Itu$t$-test ketika koreksi WS diterapkan sering disebut Welch$t$-test . (Kebetulan, ini tidak ada hubungannya dengan SPSS, semua perangkat lunak statistik akan dapat melakukan Welch$t$-test, mereka biasanya tidak melaporkan kedua sisi berdampingan secara default, jadi Anda tidak perlu diminta untuk memikirkan masalah ini.) Persamaan untuk koreksi sangat jelek, tetapi dapat dilihat di halaman Wikipedia; kecuali jika Anda sangat paham matematika atau rakus untuk hukuman, saya tidak merekomendasikan mencoba untuk melewatinya untuk memahami ide. Namun, dari sudut pandang konseptual yang longgar, idenya relatif mudah: biasa$t$-Tes mengasumsikan varians sama dalam dua kelompok. Jika tidak, maka tes seharusnya tidak mendapat manfaat dari asumsi itu. Karena kekuatan$t$-test can be seen as a function of the residual degrees of freedom, one way to adjust for this is to 'shrink' the df somewhat. The appropriate df must be somewhere between the full df and the df of the smaller group. (As @Glen_b notes below, it depends on the relative sizes of $s^2_1/n_1$ vs $s_2^2/n_2$; if the larger n is associated with a sufficiently smaller variance, the combined df can be lower than the larger of the two df.) The WS correction finds the right proportion of way from the former to the latter to adjust the df. Then the test statistic is assessed against a $t$-distribution with that df.