[Saya akan berasumsi dari diskusi dalam pertanyaan Anda bahwa Anda senang menerima kenyataan bahwa jika independen variabel terdistribusi secara identik, maka .]N ( 0 , 1 ) ∑ k i = 1 Z 2 i ∼ χ 2 kZsaya, i = 1 , 2 , … , kN( 0 , 1 )∑ki = 1Z2saya∼ χ2k
Secara formal, hasil yang Anda butuhkan mengikuti dari teorema Cochran . (Meskipun dapat ditunjukkan dengan cara lain)
Kurang formal, pertimbangkan bahwa jika kita tahu mean populasi, dan memperkirakan varians tentang itu (daripada tentang mean sampel): , lalu , ( ) yang akan menjadi kali a variabel acak.s 2 0 /σ2=1s20= 1n∑ni = 1( Xsaya- μ )2 Zi=(Xi-μ)/σ1s20/ σ2= 1n∑ni = 1( Xsaya- μσ)2= 1n∑ni = 1Z2sayaZsaya= ( Xsaya- μ ) / σ χ 2 n1nχ2n
Fakta bahwa rata-rata sampel digunakan, alih-alih rata-rata populasi ( ) membuat jumlah kuadrat penyimpangan lebih kecil, tetapi hanya sedemikian rupa sehingga (tentang hal itu, lihat teorema Cochran). Karenanya, daripada sekarang kita memiliki .∑ n i = 1 ( Z ∗ i ) 2Z∗saya= ( Xsaya- X¯) / σ n s 2 0 / σ 2 ∼ χ 2 n ( n - 1 ) s 2 / σ 2 ∼ χ 2 n - 1∑ni = 1( Z∗saya)2∼ χ2n - 1n s20/ σ2∼ χ2n( n - 1 ) s2/ σ2∼ χ2n - 1