Apa Rasio Distribusi Independen yang memberikan Distribusi Normal?

12

Rasio dua distribusi normal independen memberikan distribusi Cauchy. Distribusi t adalah distribusi normal dibagi dengan distribusi chi-kuadrat independen. Rasio dua distribusi chi-kuadrat independen memberikan distribusi-F.

Saya mencari rasio distribusi kontinu independen yang memberikan variabel acak berdistribusi normal dengan mean dan varians ? $\mu$ $\sigma^2$

Mungkin ada serangkaian jawaban yang tak terbatas. Bisakah Anda memberi saya beberapa jawaban yang mungkin? Saya akan sangat menghargai jika dua distribusi independen yang rasio dihitung sama atau setidaknya memiliki varian yang sama.

— Remi.b
sumber

2

Walaupun artikel Wikipedia tentang disribusi rasio tidak memberikan contoh kasus yang Anda cari, artikel ini menarik dibaca.

— Avraham

2

Sebuah kasus yang agak khusus adalah

standar normal, dan

independen

masing-masing dengan probabilitas

X

$X$

Y

$Y$

\pm 1

$\pm1$

, lalu

,

dan

\frac{1}{2}

$\frac12$

X

$X$

Y

$Y$

memiliki mean dan varians yang sama dan

\frac{X}{Y}

$\frac{X}{Y}$

terdistribusi secara normal.

\frac{X}{Y}

$\frac{X}{Y}$

— Henry

1

" Rasio dua distribusi chi-kuadrat independen memberikan distribusi-F " --- yah, tidak cukup. Ini memberikan distribusi beta-prima. Untuk mendapatkan nilai F, Anda perlu mengukur setiap chi-square dengan df.

— Glen_b -Reinstate Monica

2

Sejumlah hal membuat saya sama sekali tidak yakin bahwa adalah mungkin untuk memenuhi semua kondisi Anda.

— Glen_b -Reinstate Monica

1

dengan mengambil generasi metode variabel normal (misalnya Box-Muller) sebagai contoh (yang menggunakan metode lingkaran) saya akan mengatakan tidak ada rasio distribusi seragam yang memberikan distribusi normal (dengan asumsi distribusi seragam diminta)

— Nikos M.

5

Biarkan manamemiliki distribusi eksponensial dengan rata-ratadandengan probabilitas yang sama. Biarkan $Y_1 = Z \sqrt{E}$ $E$ $2 \sigma^2$ $Z = \pm 1$ mana. Dengan asumsisaling independen, makatidak bergantung padadan. Karena itu kita punya $Y_2 = 1 / \sqrt{B}$ $B \sim \mbox{Beta}(0.5, 0.5)$ $(Z, E, B)$ $Y_1$ $Y_2$ $Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

terlepas dari ; $Y_1$ $Y_2$
Keduanya terus menerus; seperti yang
. $Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

Saya belum menemukan cara untuk mendapatkan . Lebih sulit untuk melihat bagaimana melakukan ini karena masalahnya berkurang untuk menemukan dan yang independen sehingga $\text{Normal}(\mu, \sigma^2)$ $A$ $B$ yang sedikit lebih sulit daripada membuatuntukdanindependen.

\frac{A - B μ}{B} \sim Normal (0, 1)

$\frac{A - B \mu}{B} \sim \text{Normal}(0, 1)$

A / B \sim Normal (0, 1)

$A/B \sim \text{Normal}(0,1)$

A

$A$

B

$B$

— orang
sumber

1

Jika ini benar, ini luar biasa.

— Neil G

2

@ NeilG itu benar; produk beta dan eksponensial saya adalah gamma dengan bentuk 1/2 (karena cara Anda dapat membangun beta dan gamma independen menggunakan gammas). Maka akar kuadrat dari itu adalah setengah normal menggunakan fakta bahwa kuadrat dari yang normal adalah chi-square.

— pria

1

Kami baru-baru ini memiliki pertanyaan yang menanyakan produk dari dua variabel yang terdistribusi normal (saya tidak dapat menemukannya kembali). Pertanyaan itu memiliki komentar atau jawaban yang berkaitan dengan transformasi Box-Muller yang menghitung distribusi normal (atau lebih tepatnya distribusi normal bivariat) dari produk dua variabel terdistribusi seragam yang diubah. Jawaban ini sangat terkait dengan itu tetapi mengambil kebalikan dari salah satu variabel dalam transformasi Box-Muller. cc: @kjetilbhalvorsen

— Sextus Empiricus

1

Saya akan sangat menghargai jika dua distribusi independen yang rasio dihitung sama

Tidak ada kemungkinan bahwa variabel normal dapat ditulis sebagai rasio dari dua variabel independen dengan keluarga distribusi atau distribusi yang sama (seperti distribusi-F yang merupakan rasio dua variabel yang terdistribusi $\chi^2$ skala atau distribusi Cauchy yang merupakan rasio dua variabel terdistribusi normal dengan nol rata-rata).

Misalkan: untuk $A, B \sim F$ mana $F$ adalah keluarga distribusi atau distribusi yang sama kita memiliki
$X = \frac{A}{B} \sim N (μ, σ^{2})$ $X = \frac{A}{B} \sim N(\mu,\sigma^2)$
Kita juga harus dapat membalik $A$ dan $B$ (jika variabel normal dapat ditulis sebagai rasio dua variabel independen dengan keluarga distribusi atau distribusi yang sama maka urutannya dapat dibalik)
$\frac{1}{X} = \frac{B}{A} \sim N (μ, σ^{2})$ $\frac{1}{X} = \frac{B}{A} \sim N(\mu,\sigma^2)$
Tetapi jika $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ maka $X^{-1} \sim N(\mu,\sigma^2)$ tidak mungkin benar (kebalikan dari variabel terdistribusi normal bukan variabel terdistribusi normal lainnya).

Kesimpulan yang lebih luas: Jika variabel dalam setiap keluarga distribusi $\mathcal{F}_X$ dapat ditulis sebagai rasio variabel dalam keluarga distribusi lain $\mathcal{F}_Y$ maka harus bahwa keluarga $\mathcal{F}_X$ . Ditutup di bawah mengambil timbal balik (yaitu untuk setiap variabel yang distribusi di $\mathcal{F}_X$ distribusi timbal baliknya juga akan di $\mathcal{F}_X$ ).

Misalnya kebalikan dari variabel terdistribusi Cauchy juga terdistribusi Cauchy. Kebalikan dari variabel terdistribusi-F juga terdistribusi-F.

Ini 'jika' bukan 'iff', sebaliknya tidak benar. Ketika $X$ dan $1/X$ berada dalam keluarga distribusi yang sama maka mungkin tidak selalu mungkin ditulis sebagai distribusi rasio dengan nominator dan penyebut dari keluarga distribusi yang sama.

Contoh tandingan: Kita dapat membayangkan keluarga distribusi yang untuk $X$ mana pun dalam keluarga kita memiliki $1/X$ dalam keluarga yang sama tetapi kita tidak memiliki $P(X=1)=0$ . Ini bertentangan dengan fakta bahwa untuk distribusi rasio di mana penyebut dan nominator memiliki distribusi yang sama kita harus memiliki $P(X=1) \neq 0$ (dan sesuatu yang serupa dapat dinyatakan untuk distribusi kontinu seperti integral sepanjang garis X / Y = 1 dalam sebaran X, Y memiliki kerapatan bukan nol ketika X dan Y memiliki distribusi yang sama dan independen).

— Sextus Empiricus
sumber

Jangan lihat itu. Menurut saya itu hanya karena

dan

normal yang tidak membuat

A / D

$A/D$

B / C

$B/C$

normal.

\frac{A / D}{B / C}

$\frac{A/D}{B/C}$

— Carl

Lebih baik. Sekarang masuk akal.

— Carl

1

Saya tidak mengerti bagaimana pernyataan kedua mengikuti dari yang pertama. Jika ada beberapa

sedemikian sehingga hasil bagi mereka normal, mengapa itu mengikuti bagi hasil mereka dalam urutan lain juga harus normal? Pertanyaannya tidak menanyakan keluarga distribusi sehingga hasil bagi semua pasangan elemen adalah normal.

A, B

$A, B$

— Neil G

1

Saya tidak mengerti apa yang Anda katakan. Idealnya, jawaban Anda akan menjadi argumen yang koheren tanpa mengharuskan seseorang untuk membaca suntingan. Saat ini, sepertinya pernyataan kedua Anda ("kami juga harus punya") tidak mengikuti dari yang pertama.

— Neil G

1

@kjetilbhalvorsen, apa yang perlu direvisi? Saya telah menjawab bagian dari pertanyaan yang menyatakan "Saya akan sangat menghargai jika dua distribusi independen yang rasio dihitung sama" . Saya tidak melihat bagaimana jawaban pria berhubungan dengan itu.

— Sextus Empiricus

0

Nah, ini satu tapi saya tidak akan membuktikannya, hanya tunjukkan dalam simulasi.

Membuat dua distribusi beta dengan sama besar parameter bentuk (di sini, ), kurangi 1/2 dari -values salah satu dari mereka dan menyebutnya "pembilang." Itu memberi kita PDF yang memiliki jangkauan maksimum $\text{Beta}(200,200)$ $n=40,000$ $x$ , tetapi karena parameter bentuknya sangat besar, kami tidak pernah mencapai nilai maksimum rentang. Ini adalah histogram dari"pembilang" $\left(-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\right)$ $n=40,000$

Selanjutnya, kami menyebut distribusi beta kedua "penyebut" tanpa mengurangi apa pun, sehingga memiliki rentang distribusi beta biasa dan salah satunya terlihat seperti ini $(0,1)$

Sekali lagi, karena bentuknya sangat besar, kami tidak mendekati rentang maksimum dengan nilai. Selanjutnya kita plot hasil bagi sebagai PDF dengan distribusi normal yang dilapiskan. $\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$

Sekarang dalam kasus ini hasil distribusi normal memiliki dan menguji normalitas yang terlihat seperti ini $\mu \to -0.0000204825,\sigma \to 0.0501789$

(\begin{array}{ccc} Statistic & P-Value \\ Anderson-Darling & 0.799786 & 0.481181 \\ Baringhaus-Henze & 1.40585 & 0.0852017 \\ Cramér-von Mises & 0.123145 & 0.482844 \\ Jarque-Bera ALM & 4.48103 & 0.106404 \\ Kolmogorov-Smirnov & 0.00452328 & 0.386335 \\ Kuiper & 0.00798063 & 0.109127 \\ Mardia Combined & 4.48103 & 0.106404 \\ Mardia Kurtosis & 1.53849 & 0.123929 \\ Mardia Skewness & 2.09399 & 0.147879 \\ Pearson χ^{2} & 134.353 & 0.571925 \\ Watson U^{2} & 0.113831 & 0.211187 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.799786 & 0.481181 \\ \text{Baringhaus-Henze} & 1.40585 & 0.0852017 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.123145 & 0.482844 \\ \text{Jarque-Bera ALM} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00452328 & 0.386335 \\ \text{Kuiper} & 0.00798063 & 0.109127 \\ \text{Mardia Combined} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Mardia Kurtosis} & 1.53849 & 0.123929 \\ \text{Mardia Skewness} & 2.09399 & 0.147879 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 134.353 & 0.571925 \\ \text{Watson }U^2 & 0.113831 & 0.211187 \\ \end{array} \right)$

Dengan kata lain, kami tidak dapat membuktikan bahwa rasio ini tidak normal walaupun kami berusaha sangat keras untuk melakukannya.

Sekarang kenapa? Intuisi pada bagian saya, yang saya miliki dalam jumlah besar. Bukti diserahkan kepada pembaca, jika ada (mungkin melalui batas metode saat, tetapi sekali lagi itu hanya intuisi).

$\text{Beta}(20,20)$ $\text{Beta}(20,20)-\frac{1}{2}$ $t$ $\mu \to -0.000251208,\sigma \to 0.157665,\text{df}\to 33.0402$

\begin{array}{lll} Statistic & P-Value \\ Anderson-Darling & 0.275262 & 0.955502 \\ Cramér-von Mises & 0.0351108 & 0.956524 \\ Kolmogorov-Smirnov & 0.00320936 & 0.804486 \\ Kuiper & 0.00556501 & 0.657146 \\ Pearson χ^{2} & 145.077 & 0.323168 \\ Watson U^{2} & 0.0351042 & 0.878202 \end{array}

$\begin{array}{l|ll} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \hline \text{Anderson-Darling} & 0.275262 & 0.955502 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0351108 & 0.956524 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00320936 & 0.804486 \\ \text{Kuiper} & 0.00556501 & 0.657146 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 145.077 & 0.323168 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0351042 & 0.878202 \\ \end{array}$

$\dfrac{\mathcal{N}(0,1)}{\mathcal{N}(10,1/1000)}\to$ $t$ $\mu \to -0.0000535722,\sigma \to 0.0992765,\text{df}\to 244.154$

(\begin{array}{ccc} Statistic & P-Value \\ Anderson-Darling & 0.501677 & 0.745102 \\ Cramér-von Mises & 0.0696824 & 0.753515 \\ Kolmogorov-Smirnov & 0.00355688 & 0.692225 \\ Kuiper & 0.00608382 & 0.501133 \\ Pearson χ^{2} & 142.88 & 0.370552 \\ Watson U^{2} & 0.0603207 & 0.590369 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.501677 & 0.745102 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0696824 & 0.753515 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00355688 & 0.692225 \\ \text{Kuiper} & 0.00608382 & 0.501133 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 142.88 & 0.370552 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0603207 & 0.590369 \\ \end{array} \right)$

— Carl
sumber

5

Anda jelas sangat dekat dengan distribusi normal. Namun, itu sama sekali tidak sama dengan memiliki distribusi normal, dan saya tidak percaya rasio beta simetris terpusat ke beta simetris biasa dengan parameter yang sama akan menjadi normal. Saya akan sangat tertarik untuk salah tentang ini.

— Glen_b -Reinstate Monica

2

Solusi Anda jelas bukan Normal. Anda dapat menggeneralisasi pendekatan ini: ambil distribusi apa pun yang mendekati Normal dan bagi dengan distribusi dengan probabilitas terkonsentrasi di dekat angka bukan nol. Hasilnya (jelas) akan mendekati Normal - tetapi tetap tidak Normal. Menerapkan banyak tes tidak meyakinkan karena semua itu menunjukkan bahwa Anda tidak menghasilkan sampel yang cukup besar untuk menunjukkan ketidaknormalan.

— Whuber

1

10^{8}

$10^8$

2

Biarkan saya sampai ke inti permasalahan, kemudian: (1) menyangkal normalitas adalah latihan sederhana dalam pendekatan integral - tidak perlu memberikan detailnya di sini. Anda dapat, misalnya , dengan mudah membuktikan bahwa momen ke-200 tidak terbatas. (2) Jawaban Anda membingungkan distribusi dengan sampel. Ini adalah kebingungan mendasar yang saya keberatan; itulah alasan mengapa saya pikir jawaban ini lebih menyesatkan daripada membantu. BTW, saya tidak menulis komentar terakhir saya dengan ringan: Saya melakukan tes itu. Saya tidak melakukannya dengan superkomputer, tetapi dengan workstation PC yang sudah berumur satu dekade, dan seluruh proses hanya memakan waktu beberapa detik.

— whuber

1

@whuber Perkiraan mana yang Anda uji? Yang pertama, yang kedua atau yang ketiga? BTW, jika mereka hanya perkiraan, jadilah itu. Saya hanya menyarankan bahwa dalam kasus membatasi bahwa mereka mungkin tepat. Semua statistik adalah perkiraan jadi saya tidak membagikan pemahaman Anda.

— Carl

-3

$X_1^G,X_2^G$ $X^C_{\gamma}$

\frac{X_{1}^{G}}{X_{2}^{G}} = X_{γ}^{C}

$\frac{X_1^G}{X_2^G} = X^C_{\gamma}$

$X^C_{\gamma}\sim1/X^C_{1/\gamma}$ $\gamma$

X_{1}^{G} = X_{2}^{G} / X_{1 / γ}^{C}

$X_1^G= X_2^G/X^C_{1/\gamma}$

$\mu$ $\mu$ $\sigma$ $\gamma\rightarrow1/\gamma$

— chuse
sumber

4

Silakan uji hipotesis Anda, baik dengan perhitungan eksplisit rasio atau melalui simulasi. Entah akan menunjukkan bahwa klaim Anda salah. Kesalahannya terletak pada asumsi bahwa rasio distribusi dapat "dibatalkan" untuk "menyelesaikan" pembilang.

— whuber

1

X_{2}^{G}

$X_2^G$