Mengapa harga saham lognormal tetapi pengembalian saham normal

Kecuali fakta bahwa pengembalian bisa negatif sementara harga harus positif, apakah ada alasan lain di balik pemodelan harga saham sebagai log distribusi normal tetapi pemodelan pengembalian saham sebagai distribusi normal?

normal-distribution lognormal finance

— Pemenang
sumber

Tidak ada klaim dalam judul yang benar. Anda harus mendefinisikan pengembalian dalam pertanyaan Anda (saya telah melihat dua definisi yang sedikit berbeda, dan itu penting untuk bagaimana jawaban harus diungkapkan dalam kasus ini)

— Glen_b -Reinstate Monica

Pengembalian harian ... seperti pada ... perbedaan antara hari pembukaan dan penutupan hari dinyatakan sebagai% dari pembukaan.

— Victor

Anda dapat menemukan informasi terbaru tentang distribusi pengembalian saham pada video 3 menit yang diterbitkan di sini: indiegogo.com/projects/fat-tails-mathematics/x/17297122#

— Anton Nefedov

Keberadaan jawaban yang sangat tervotasikan & diterima menyiratkan Q ini cukup jelas untuk dijawab. Saya memberikan suara untuk tetap terbuka.

— gung - Reinstate Monica

Beberapa poin untuk memulai dengan:

i) konvensi distribusi ini paling banter. Mereka bisa menjadi model yang nyaman, tetapi kita tidak harus bingung dengan distribusi aktual harga saham atau pengembalian.

ii) harga saham biasanya meningkat (tetapi dalam kasus apa pun, ada perubahan berarti; rata-rata tidak stabil). Jadi ketika kita berbicara tentang distribusi harga saham, kita biasanya tidak mengacu pada distribusi marjinal mereka, tetapi distribusi bersyarat . Jadi kita sering cenderung berarti sesuatu yang lebih seperti kira-kira lognormal dengan mean berubah dengan (khusus, kondisional lognormal, tergantung pada beberapa nilai sebelumnya dan waktu yang berlalu). Varians juga dapat berubah, dalam hal ini berarti dan kondisi varians pada beberapa nilai dan waktu sebelumnya. Jadi misalnya, dengan "harga saham mendekati lognormal", kami mungkin berarti $y_t$ $t$ $y_t/y_{t-1} \, \dot{\sim}\, \log N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$ atau dengan kata lain $y_t \, \dot{\sim}\, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$

iii) Perhatikan bahwa untuk kecil , . $x$ $\log(1+x)\approx x$

Untuk pengembalian periode pendek, seperti pengembalian harian, umumnya, cukup kecil, biasanya pada urutan 0,01 - atau sering kurang - dalam nilai absolut. $\frac{y_{t}-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

Ketika rasio itu kecil, $\log(y_t)-\log(y_{t-1})=\log(\frac{y_t}{y_{t-1}})\approx \frac{y_t}{y_{t-1}}-1=\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

Artinya, pengembaliannya kira-kira adalah perubahan harga log stock (coba dengan harga saham asli dan lihat harganya hampir sama).

Jadi jika

y_{t} \dot{\sim} \log N (\log (y_{t - 1}) + μ_{daily}, σ_{daily}^{2})

$y_t \, \dot{\sim} \, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$

yang menyiratkan

\log (y_{t}) \dot{\sim} N (\log (y_{t - 1}) + μ_{daily}, σ_{daily}^{2})

$\log(y_t) \, \dot{\sim} \, N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$

kemudian

\frac{y_{t} - y_{t - 1}}{y_{t - 1}} \approx \log (y_{t}) - \log (y_{t - 1}) \dot{\sim} N (μ_{daily}, σ_{daily}^{2})

$\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}\approx \log(y_t)-\log(y_{t-1})\,\dot{\sim}\,N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$

— Glen_b -Reinstate Monica
sumber

Seperti yang disebutkan, untuk pengembalian jangka pendek Anda bisa keliru untuk distribusi normal. Saya telah mengilustrasikannya dalam posting di blog saya.

— Jan Rothkegel