Tes untuk kointegrasi antara dua seri waktu menggunakan metode dua langkah Engle – Granger

Saya ingin menguji kointegrasi antara dua seri waktu. Kedua seri memiliki rentang data mingguan ~ 3 tahun.

Saya mencoba melakukan Metode Dua Langkah Engle-Granger. Pesanan operasi saya berikut.

1. Uji setiap seri waktu untuk root unit melalui Augmented Dickey-Fuller.
2. Dengan asumsi keduanya memiliki unit root, kemudian temukan pendekatan linier hubungan melalui OLS. Kemudian buat serangkaian residu.
3. Tes residu untuk root unit melalui Augmented Dickey-Fuller.
4. Akhiri kointegrasi (atau tidak) dengan hasil 3.

Pertanyaan:

1. Apakah metode ini terlihat oke? (Saya seorang sarjana, dan saya ingin menganalisis data saya dengan cara yang sah, tidak harus menganalisisnya dengan metode yang dikenal paling ketat.)
2. Jika satu seri tidak dapat menolak hipotesis nol dengan ADF (dan karena itu tidak memiliki unit root) pada langkah 1, apakah masuk akal untuk menyimpulkan bahwa kedua seri tidak terkointegrasi karena satu set data nonstasioner? Saya tidak akan berpikir begitu, tetapi saya ingin memastikan.
3. Kedua set data terlihat "stokastik", jadi saya bertanya-tanya apakah pantas menggunakan OLS untuk mengukur hubungan untuk mendapatkan residu.

Pertama-tama pertimbangkan dua deret waktu, dan x 2 t yang keduanya adalah I ( 1 ) , yaitu kedua deret tersebut berisi unit root. Jika dua seri ini terkointegrasi maka akan ada koefisien, μ dan β 2 sedemikian rupa sehingga: $x_{1t}$$x_{2t}$$I\left(1\right)$$\mu$$\beta_{2}$$\\$

$x_{1t}=\mu+\beta_{2}x_{2t}+u_{t}\quad\left(1\right)$ $\\$

akan menentukan keseimbangan. Untuk menguji kointegrasi menggunakan pendekatan 2 langkah Engle-Granger, kami akan melakukannya

$\\$ 1) Uji seri, dan x 2 t untuk unit root. Jika keduanyaI ( 1 ) maka lanjutkan ke langkah 2).$x{}_{1t}$$x_{2t}$$I\left(1\right)$

$\\$ 2) Jalankan persamaan regresi yang ditentukan di atas dan simpan residu. Saya mendefinisikan baru “koreksi kesalahan” .$\hat{u}_{t}=\hat{ecm}_{t}$

$\\$ 3) Uji residual ( ) untuk unit root. Perhatikan bahwa tes ini sama dengan tes untuk no-kointegrasi karena di bawah hipotesis nol, residu tidak stasioner. Namun jika ada kointegrasi daripada residu harus stasioner. Ingatlah bahwa distribusi untuk tes ADF berbasis residu tidak sama dengan distribusi DF biasa dan akan tergantung pada jumlah parameter yang diperkirakan dalam regresi statis di atas karena variabel tambahan dalam regresi statis akan menggeser distribusi DF ke kiri. Nilai kritis 5% untuk satu parameter yang diperkirakan dalam regresi statis dengan tren dan konstan masing-masing adalah -3,34 dan -3,78. $\hat{ecm}_{t}$$\\$

4) Jika Anda menolak nol dari unit root di residual (nol dari no-kointegrasi) maka Anda tidak dapat menolak bahwa kedua variabel kointegrasi. $\\$

5) Jika Anda ingin mengatur model koreksi kesalahan dan menyelidiki hubungan jangka panjang antara kedua seri, saya akan merekomendasikan Anda untuk lebih suka menyiapkan model ADL atau ECM sebagai gantinya karena ada bias sampel kecil yang melekat pada Mesin Granger regresi statis dan kami tidak dapat mengatakan apa pun tentang signifikansi parameter yang diperkirakan dalam regresi statis karena distribusi bergantung pada parameter yang tidak diketahui. Untuk menjawab pertanyaan Anda: 1) Seperti terlihat di atas, metode Anda sudah benar. Saya hanya ingin menunjukkan bahwa nilai kritis tes berbasis residu tidak sama dengan nilai kritis tes ADF biasa. $\\$

$\\$

(2) Jika salah satu seri stasioner yaitu dan yang lainnya adalah I ( 1 ) mereka tidak dapat dikointegrasi karena kointegrasi menyiratkan bahwa mereka berbagi tren stokastik umum dan bahwa hubungan linier antara mereka stasioner sejak stochastic tren akan membatalkan dan dengan demikian menghasilkan hubungan stasioner. Untuk melihat ini, pertimbangkan dua persamaan: $I\left(0\right)$$I\left(1\right)$$\\$

$x_{1t}=\mu+\beta_{2}x_{2t}+\varepsilon_{1t}\quad\left(2\right)$

$\Delta x_{2t}=\varepsilon_{2t}\quad\left(3\right)$

Perhatikan bahwa , x 1 t ∼ I ( 1 ) , x 2 t ∼ I ( 1 ) , u t = β ′ x t ∼ I ( 0 ) , ε 1 t ∼ i . i . d $\varepsilon_{2t}\sim i.i.d.$$x_{1t}\sim I\left(1\right)$$x_{2t}\sim I\left(1\right)$$u_{t}=\beta\prime x_{t}\sim I\left(0\right)$$\varepsilon_{1t}\sim i.i.d.$

$\\$

Pertama kita memecahkan persamaan dan dapatkan $\left(3\right)$$\\$

$x_{2t}=x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}$ $\\$

Masukkan solusi ini ke persamaan untuk mendapatkan: $\left(2\right)$$\\$

$x_{1t} =\mu+\beta_{2}\left\{ x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}\right\} +\varepsilon_{1t} x_{1t} =\mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}$ $\\$

Kita melihat pada dua seri ini berbagi tren stokastik umum. Kita kemudian dapat mendefinisikan vektor kointegrasi sedemikian rupa sehingga: $\beta=\left(1\;-\beta_{2}\right)\prime$$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\left(1\;-\beta_{2}\right)\left(\begin{array}{c} \mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}\\ x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i} \end{array}\right)$

$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}-\beta_{2} x_{0}-\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}$

$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\mu+\varepsilon_{1t}$

Kami melihat bahwa dengan mendefinisikan vektor kointegrasi yang benar dua tren stokastik membatalkan dan hubungan antara mereka adalah stasioner ( ). Jika x 1 t adalah I ( 0 ) maka tren stokastik di x 2 t tidak akan dihapus dengan mendefinisikan hubungan kointegrasi. Jadi ya Anda membutuhkan kedua seri Anda untuk menjadi saya ( 1 ) ! $u_{t}=\beta\prime x_{t}\sim I\left(0\right)$$x_{1t}$$I\left(0\right)$$x_{2t}$$I\left(1\right)$$\\$

$\\$

(3) Pertanyaan terakhir. Ya OLS valid untuk digunakan pada dua seri stokastik karena dapat ditunjukkan bahwa penaksir OLS untuk regresi statis (Persamaan ) akan sangat konsisten (varians konvergen ke nol pada T - 2 ) ketika kedua seri tersebut adalah I ( 1 ) dan ketika mereka terkointegrasi. Jadi jika Anda menemukan kointegrasi dan seri Anda adalah I ( 1 ) estimasi Anda akan sangat konsisten. Jika Anda tidak menemukan kointegrasi maka regresi statis tidak akan konsisten. Untuk bacaan lebih lanjut lihat makalah mani oleh Engle dan Granger, 1987, Co-Integration, Error Correction: Representation, Estimation and Testing.$\left(1\right)$$T^{-2}$$I\left(1\right)$$I\left(1\right)$