Intuisi untuk momen yang lebih tinggi dalam statistik sirkuler

Dalam statistik sirkuler, nilai ekspektasi dari variabel acak dengan nilai pada lingkaran didefinisikan sebagai (lihat wikipedia ). Ini adalah definisi yang sangat alami, seperti definisi varians Jadi kita tidak perlu momen kedua untuk mendefinisikan varians! $Z$ $S$

m_{1} (Z) = \int_{S} z P^{Z} (θ) d θ

$m_1(Z)=\int_S z P^Z(\theta)\textrm{d}\theta$

V Sebuah r (Z) = 1 - | m_{1} (Z) | .

$\mathrm{Var}(Z)=1-|m_1(Z)|.$

Meskipun demikian, kita mendefinisikan momen yang lebih tinggi Saya akui bahwa ini terlihat agak alami juga pada pandangan pertama, dan sangat mirip dengan definisi dalam statistik linier. Tetapi saya masih merasa sedikit tidak nyaman, dan memiliki yang berikut

m_{n} (Z) = \int_{S} z^{n} P^{Z} (θ) d θ .

$m_n(Z)=\int_S z^n P^Z(\theta)\textrm{d}\theta.$

Pertanyaan:

1. Apa yang diukur dengan momen lebih tinggi yang didefinisikan di atas (secara intuitif)? Properti distribusi mana yang dapat ditandai dengan momennya?

2. Dalam perhitungan momen yang lebih tinggi kita menggunakan perkalian bilangan kompleks, meskipun kita berpikir tentang nilai-nilai variabel acak kita hanya sebagai vektor dalam bidang atau sebagai sudut. Saya tahu bahwa perkalian kompleks pada dasarnya adalah penambahan sudut dalam kasus ini, tetapi tetap saja: Mengapa perkalian kompleks merupakan operasi yang berarti untuk data sirkuler?

— Rasmus
sumber

$P^Z$ $Z$ $1$ $Z$ $[0,2\pi)$

Adapun pertanyaan kedua Anda, saya pikir Anda sudah memberikan jawaban: "perkalian kompleks pada dasarnya adalah penambahan sudut dalam kasus ini".

— Tandai Meckes
sumber

Terima kasih, ini sangat membantu. (Malu pada saya karena tidak mengenali seri Fourier bahkan ketika meluncur ke arah itu ...)

— Rasmus

Apakah ini berarti bahwa momen-momen dari distribusi sirkular harus dibandingkan dengan fungsi karakteristik dari distribusi linear daripada momen-momennya?

— Rasmus

@Rasmus: Saya kira itu tergantung pada apa yang ingin Anda lakukan dengan informasi tersebut, tetapi secara umum saya akan mengatakan ya.

— Mark Meckes