Yang menyatu lebih cepat, rata-rata atau median?

Jika saya menggambar variabel iid dari N (0,1), akankah rata-rata atau median bertemu lebih cepat? Seberapa cepat?

Untuk lebih spesifik, misalkan menjadi urutan variabel iid yang diambil dari N (0,1). Tentukan , dan menjadi median dari . Yang mana yang menyatu dengan 0 lebih cepat, atau ? $x_1, x_2, \ldots$ $\bar{x}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$ $\tilde{x}_n$ $\{x_1, x_2, \ldots x_n\}$ $\{\bar{x}_n\}$ $\{\tilde{x}_n\}$

Untuk konkret tentang apa artinya konvergen lebih cepat: apakah ada? Jika demikian, apakah itu? $\lim_{n \to \infty} Var(\bar{X}_n)/Var(\tilde{X}_n)$

normal-distribution mean median

— Josh Brown Kramer
sumber

Apakah Anda bertanya tentang konvergensi probabilitas estimasi titik sehubungan dengan parameter populasi? Atau Anda bertanya tentang konvergensi dalam distribusi variabel acak?

— Ryan Simmons

Dengan "konvergen lebih cepat ke 0" maksud Anda "yang memiliki varian asimptotik yang lebih kecil" atau sesuatu yang lain?

— Glen_b -Reinstate Monica

@ Glen_b Sampai batas tertentu ini dimotivasi oleh masalah nyata: median lebih kuat terhadap outlier, jadi sepertinya median sampel harus konvergen lebih cepat daripada rata-rata saat ukuran sampel bertambah. Saya tidak benar-benar tahu apa cara terbaik untuk mengekspresikan tingkat konvergensi dalam situasi ini. Untuk konkretnya, saya bisa bertanya apakah

lim_{n \to \infty} V a r ({\bar{X}}_{n}) / V a r ({\tilde{X}}_{n})

$\lim_{n \to \infty} Var(\bar{X}_n)/Var(\tilde{X}_n)$ ada, dan jika ya, apakah itu.

— Josh Brown Kramer

Jika data benar-benar diambil sampelnya dari distribusi normal, pencilan sangat jarang - sangat jarang sehingga dampak pada rata-rata meninggalkan rata-rata sampel sebagai perkiraan rata-rata populasi yang paling efisien. Tetapi Anda tidak perlu ekor yang bervariasi untuk membuat median kompetitif. Rasio yang Anda sebutkan memang sekitar 0,63

— Glen_b -Reinstate Monica

Mean dan median adalah sama, dalam kasus khusus ini. Diketahui bahwa median adalah 64% efisien sebagai rata-rata, sehingga rata-rata lebih cepat untuk bertemu. Saya dapat menulis lebih detail tetapi wikipedia membahas pertanyaan Anda dengan tepat.

— Yair Daon
sumber

Apakah Anda memiliki kutipan?

— Josh Brown Kramer

Laplace, PSde (1818) Deuxième supplément à la Théorie Analytique des Probabilités , Paris, Courcier - Laplace memberikan distribusi asimptotik untuk mean dan median. Lihat juga bagian tentang ragam median di Wikipedia

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b: (+1) referensi utama !!!

— Xi'an

@ Glen_b ya itu respon epik, saya tertawa cukup keras. Terima kasih untuk itu!

— user541686

@ xi'an maksud Anda menulis bahwa mean dan median adalah jumlah yang sama?

— Yair Daon