Distribusi maksimum dua variabel normal berkorelasi

18

Katakanlah saya memiliki dua variabel acak normal standar dan yang normal bersama dengan koefisien korelasi . $X_1$ $X_2$ $r$

Apa fungsi distribusi ? $\max(X_1, X_2)$

correlation normal-distribution extreme-value

— Vendetta
sumber

Terkait: stats.stackexchange.com/questions/173064/… .

— StubbornAtom

22

Menurut Nadarajah dan Kotz, 2008 , Distribusi Persis dari Maks / Min dari Dua Variabel Acak Gaussian , PDF dari $X = \max(X_1, X_2)$ tampaknya

f (x) = 2 \cdot ϕ (x) \cdot Φ (\frac{1 - r}{\sqrt{1 - r^{2}}} x),

$f(x) = 2 \cdot \phi(x) \cdot \Phi\left( \frac{1 - r}{\sqrt{1 - r^2}} x\right),$

di mana $\phi$ adalah PDF dan $\Phi$ adalah CDF dari distribusi normal standar.

$\hskip2in$ masukkan deskripsi gambar di sini

— Lucas
sumber

Bagaimana ini terlihat jika (tidak ada korelasi sama sekali)? Saya kesulitan memvisualisasikannya.

r = 0

$r = 0$

— Mitch

3

Saya menambahkan gambar memvisualisasikan distribusi. Sepertinya Gaussian yang diremas sedikit condong ke kanan.

— Lucas

22

Biarkan menjadi PDF Normal bivariat untuk dengan marjinal standar dan korelasi . CDF maksimum adalah, menurut definisi, $f_\rho$ $(X,Y)$ $\rho$

Pr (max (X, Y) \leq z) = Pr (X \leq z, Y \leq z) = \int_{- \infty}^{z} \int_{- \infty}^{z} f_{ρ} (x, y) d y d x .

$\Pr(\max(X, Y)\le z) = \Pr(X\le z,\ Y\le z) = \int_{-\infty}^z\int_{-\infty}^z f_\rho(x,y)dy dx.$

Normal PDF bivariat simetris (melalui refleksi) di sekitar diagonal. Dengan demikian, peningkatan ke menambahkan dua strip probabilitas setara ke kuadrat semi-tak terbatas semula: yang bagian atas sangat tebal adalah sementara timpalannya yang dipantulkan, strip kanan, adalah . $z$ $z+dz$ $(-\infty, z]\times (z, z+dz]$ $(z, z+dz]\times (-\infty, z]$

Angka

Kerapatan probabilitas strip kanan adalah kerapatan pada kali probabilitas bersyarat total bahwa ada di dalam strip, . Distribusi bersyarat dari selalu Normal, jadi untuk menemukan probabilitas bersyarat total ini, kita hanya perlu mean dan varians. Rata-rata bersyarat pada adalah prediksi regresi dan varians bersyarat adalah varians "tidak dijelaskan" . $X$ $z$ $Y$ $\Pr(Y\le z\,|\, X=z)$ $Y$ $Y$ $X$ $\rho X$ $\text{var}(Y) - \text{var}(\rho X) = 1-\rho^2$

Sekarang kita mengetahui mean dan varians kondisional, CDF bersyarat dari diberikan dapat diperoleh dengan menstandarisasi dan menerapkan CDF Normal Normal : $Y$ $X$ $Y$ $\Phi$

Pr (Y \leq y | X) = Φ (\frac{y - ρ X}{\sqrt{1 - ρ^{2}}}) .

$\Pr(Y \le y\,|\, X) = \Phi\left(\frac{y-\rho X}{\sqrt{1-\rho^2}}\right).$

Mengevaluasi ini pada dan dan mengalikan dengan kepadatan pada (pdf Normal normal ) memberikan kemungkinan kepadatan strip kedua (kanan) $y=z$ $X=z$ $X$ $z$ $\phi$

ϕ (z) Φ (\frac{z - ρ z}{\sqrt{1 - ρ^{2}}}) = ϕ (z) Φ (\frac{1 - ρ}{\sqrt{1 - ρ^{2}}} z) .

$\phi(z)\Phi\left(\frac{z-\rho z}{\sqrt{1-\rho^2}}\right) = \phi(z)\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right).$

Menggandakan akun ini untuk strip atas equi-probable, memberikan PDF maksimum sebagai

\frac{d}{d z} Pr (max (X, Y) \leq z) = 2 ϕ (z) Φ (\frac{1 - ρ}{\sqrt{1 - ρ^{2}}} z) .

$\frac{d}{dz}\Pr(\max(X,Y)\le z) = \color{blue}{2}\color{black}{\phi(z)}\color{darkred}{\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right)}.$

Rekapitulasi

Saya telah mewarnai faktor-faktor untuk menunjukkan asal-usulnya: untuk dua strip simetris; untuk lebar strip yang sangat kecil; dan untuk panjang strip. Argumen yang terakhir, , hanyalah versi standar dari tergantung pada . $\color{blue}2$ $\color{black}{\phi(z)}$ $\color{darkred}{\Phi\left(\cdots\right)}$ $\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z$ $Y=z$ $X=z$

— whuber
sumber

Bisakah ini diperluas ke lebih dari dua variabel normal standar dengan matriks korelasi yang diberikan?

— A. Donda

1

@ A.Donda Ya - tetapi ekspresi semakin rumit. Dengan setiap dimensi baru muncul kebutuhan untuk berintegrasi sekali lagi.

— whuber