Batas Atas aktif

$X$ adalah variabel acak diskrit yang dapat mengambil nilai dari . Karena adalah fungsi cembung, kita dapat menggunakan ketidaksetaraan Jensen untuk menurunkan batas bawah : Apakah mungkin untuk mendapatkan batas atas ? $(0,1)$ $\varphi(x)=1/x$

E [\frac{1}{1 - X}] \geq \frac{1}{1 - E [X]} = \frac{1}{1 - a}

$E\left[\frac{1}{1-X}\right]\ge \frac{1}{1-E[X]}=\frac{1}{1-a}$

probability expected-value bounds

— Mike
sumber

Pertimbangkan apa yang terjadi ketika X memiliki batas atas yang mendekati 1 dari bawah. Sekarang pertimbangkan distribusi dengan yang menyertakan 1 dengan kepadatan bukan nol. Sekarang perhatikan distribusi diskrit, di mana 1 memiliki probabilitas nol. Anda mungkin ingin memulai dengan beberapa batasan

— Glen_b -Reinstate Monica

Generalisasi pertanyaan ini dapat diterapkan pada variabel acak dengan harapan untuk mendapatkan jawaban segera: lihat stats.stackexchange.com/questions/141766 . Ketidaksetaraan yang disediakan ketat: yaitu batas atas dapat dicapai. Ini memberikan batas atas yang berguna (tidak terbatas) jika supremum kurang dari .

1 - X

$1-X$

1 - a

$1-a$

X

$X$

1

$1$

— Whuber

Tidak ada batas atas.

Secara intuitif, jika memiliki dukungan substansial sepanjang urutan mendekati , maka dapat memiliki harapan yang berbeda (sewenang-wenang besar). Untuk menunjukkan tidak ada batas atas, yang harus kita lakukan adalah menemukan kombinasi dukungan dan probabilitas yang mencapai harapan yang diinginkan dari . Berikut ini secara eksplisit membangun seperti itu . $X$ $1$ $1/(1-X)$ $a$ $X$

Asumsikan (untuk dipilih nanti) dan (juga untuk dipilih nanti). Biarkan mengambil nilai dengan probabilitas . Kemudian $0 \lt \lambda \lt 1$ $s \gt 1$ $X$

a_{n} = 1 - λ n^{- s}

$a_n = 1 - \lambda n^{-s}$

p_{n} = \frac{n^{- s}}{ζ (s)},

$p_n = \frac{n^{-s}}{\zeta(s)},$

n = 1, 2, \dots

$n = 1, 2, \ldots$

a = E (X) = \sum_{n = 1}^{\infty} p_{n} a_{n} = \frac{1}{ζ (s)} \sum_{n = 1}^{\infty} n^{- s} (1 - λ n^{- s}) = 1 - λ \frac{ζ (2 s)}{ζ (s)} .

$a = \mathbb{E}(X) = \sum_{n=1}^\infty p_n a_n = \frac{1}{\zeta(s)}\sum_{n=1}^\infty n^{-s}\left(1 - \lambda n^{-s}\right) = 1 - \lambda \frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}.$

Rentang adalah interval , karena grafik parsial ini menunjukkan: $f(s) = \zeta(2s)/\zeta(s)$ $(0,1)$

Gambar rasio zeta

Memilih sedemikian sehingga , pilih yang ; yaitu, . Ini membangun dengan semua properti yang dinyatakan. $\lambda$ $1-a \lt \lambda \lt 1$ $s \gt 1$ $f(s) = (1-a)/\lambda$ $a = 1 - \lambda f(s)$ $X$

Mempertimbangkan

E (\frac{1}{1 - X}) = \sum_{n = 1}^{\infty} p_{n} \frac{n^{s}}{λ} = \frac{1}{λ ζ (s)} \sum_{n = 1}^{\infty} 1.

$\mathbb{E}\left(\frac{1}{1-X}\right) = \sum_{n=1}^\infty p_n \frac{n^s}{\lambda} = \frac{1}{\lambda\zeta(s)}\sum_{n=1}^\infty 1.$

Jumlahnya berbeda. Akibatnya tidak ada batas atas yang konsisten dengan kondisi yang dinyatakan.

— whuber
sumber