Perkiraan distribusi produk N normal iid? Kasus khusus μ≈0

Diberikan iid , dan , mencari: $N\geq30$ $X_n\approx\mathcal{N}(\mu_X,\sigma_X^2)$ $\mu_X \approx 0$

perkiraan distribusi formulir tertutup akurat dari $Y_N=\prod\limits_{1}^{N}{X_n}$
perkiraan asimtotik ( eksponensial ?) untuk produk yang sama

Ini adalah kasus khusus dari pertanyaan yang lebih umum . $\mu_X \approx 0$

— Andrei Pozolotin
sumber

1. Apakah Anda memiliki informasi tentang dan ? (Alangkah baiknya jika semua , misalnya.) (2) Suatu perkiraan normal asimptotik akan mengerikan , karena asimptotik tidak akan terlihat normal dari jarak jauh.

μ_{X}

$\mu_X$

σ_{X}

$\sigma_X$

μ_{X} / σ_{X} ≫ 0

$\mu_X/\sigma_X \gg 0$

Y

$Y$

— Whuber

Saya baru saja bermain cepat dengan ini. Jika Anda tertarik, dimungkinkan untuk mendapatkan solusi form tertutup tepat untuk produk variabel acak yang iid . Kasing non-nol membuat segalanya lebih rumit.

n

$n$

N (0, σ^{2})

$N(0, \sigma^2)$

μ

$\mu$

— serigala

@whuber (1) setelah melakukan beberapa monte carlo dengan beberapa dan , saya menemukan bahwa distribusi berperilaku cukup baik untuk dan ; sekarang saya ingin menemukan ekspresi yang bagus untuk dan mirip dengan bagaimana memiliki beberapa perkiraan yang bagus. Saya membangun beberapa perkiraan melalui ekspansi taylor, tetapi mereka berperilaku buruk. (2) yah, pasti "terlihat" seperti jumlah normal dengan chi kuadrat, sehingga dapat dikurangi menjadi normal, jika perkiraan "membuktikan" itu.

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

F

$F$

N > 30

$N>30$

| μ_{X} | \geq 10 σ_{X}

$|\mu_X|\geq10\sigma_X$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

χ^{2}

${\chi}^2$

F

$F$

F

$F$

— Andrei Pozolotin

Ketika , akan didekati dengan baik oleh distribusi lognormal (seperti yang ditunjukkan oleh aplikasi teorema Barry-Esseen ke ).

μ_{X} \geq 10 σ_{X}

$\mu_X \ge 10\sigma_X$

Y

$Y$

\log (X)

$\log(X)$

— whuber

@whuber aplikasi langsung Barry-Esseen memberi , yang memang bagus, tetapi kehilangan beberapa struktur: harus negatif, harus bergantung pada , dll. mungkin, ada cara yang lebih baik untuk menerapkannya?

F_{N} \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}} Z

$F_N \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}}Z$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

α

$\alpha$

— Andrei Pozolotin

Dimungkinkan untuk mendapatkan solusi yang tepat dalam kasus mean-nol (bagian B).

Masalah

Biarkan menunjukkan iid variabel, masing-masing dengan pdf umum : $(X_1, \dots, X_n)$ $n$ $N(0,\sigma^2)$ $f(x)$

Kami mencari pdf dari , untuk $\prod_{i=1}^n X_i$ $n = 2, 3, \dots$

Larutan

Pdf produk dari dua Normals tersebut adalah:

... di mana saya menggunakan TransformProductfungsi dari paket mathStatica untuk Mathematica . Domain dukungan adalah:

Produk 3, 4, 5 dan 6 Normal diperoleh dengan menerapkan fungsi yang sama secara iteratif (di sini empat kali):

... di mana MeijerGmenunjukkan fungsi Meijer G.

$n$ $N(0,\sigma^2)$

\frac{1}{(2 π)^{\frac{n}{2}} σ^{n}} MeijerG [{{}, {}}, {{0_{1}, \dots, 0_{n}}, {}}, \frac{x^{2}}{2^{n} σ^{2 n}}] for x \in R

$\frac{1}{(2 \pi )^{\frac{n}{2}} \sigma ^n} \text{MeijerG}[\{ \{ \}, \{ \} \}, \{ \{0_1, \dots, 0_n \}, \{ \} \}, \frac{x^2}{2^n \sigma ^{2 n}}] \quad \quad \text{ for } x \in \mathbb{R}$

Periksa cepat Monte Carlo

Berikut ini adalah perbandingan cepat:

$n = 6$ $\sigma=3$
ke Monte Carlo empiris pdf: kurva BLUE berlekuk

Terlihat bagus! [Kurva Monte berlekuk biru mengaburkan kurva putus-putus yang tepat]

— serigala
sumber

l o g (. . . M e i j e r G (. . .))

$log(...MeijerG(...))$