Dadu 6 sisi digulung berulang-ulang. Berapa jumlah gulungan yang diharapkan untuk menghasilkan jumlah yang lebih besar dari atau sama dengan K?

Sebelum Mengedit

P(Sum>=1 in exactly 1 roll)=1
P(Sum>=2 in exactly 1 roll)=5/6
P(Sum>=2 in exactly 2 rolls)=1/6
P(Sum>=3 in exactly 1 roll)=5/6
P(Sum>=3 in exactly 2 rolls)=2/6
P(Sum>=3 in exactly 3 rolls)=1/36
P(Sum>=4 in exactly 1 roll)=3/6
P(Sum>=4 in exactly 2 rolls)=3/6
P(Sum>=4 in exactly 3 rolls)=2/36
P(Sum>=4 in exactly 4 rolls)=1/216

Setelah Edit

P(Sum>=1 in atleast 1 roll)=1
P(Sum>=2 in atleast 1 roll)=5/6
P(Sum>=2 in atleast 2 rolls)=1
P(Sum>=3 in atleast 1 roll)=4/6
P(Sum>=3 in atleast 2 rolls)=35/36
P(Sum>=3 in atleast 3 rolls)=1
P(Sum>=4 in atleast 1 roll)=3/6
P(Sum>=4 in atleast 2 rolls)=33/36
P(Sum>=4 in atleast 3 rolls)=212/216
P(Sum>=4 in atleast 4 rolls)=1

Saya tidak yakin ini benar pertama-tama dan tetapi saya pikir probabilitas ini terkait dengan jumlah gulungan yang diharapkan?

Tapi saya tidak tahu bagaimana melangkah lebih jauh. Apakah saya melanjutkan ke arah yang benar?

Sejauh ini hanya beberapa ide untuk pendekatan lain yang lebih tepat, berdasarkan pengamatan yang sama dengan jawaban pertama saya. Dengan waktu saya akan memperpanjang ini ...

Pertama, beberapa notasi. Biarkan menjadi bilangan bulat, positif (besar). Kami ingin distribusi N , yang merupakan jumlah minimum melempar sebuah dadu biasa untuk mendapatkan jumlah setidaknya K . Jadi, pertama kita mendefinisikan X i sebagai hasil dadu membuang i , dan X ( n ) = X 1 + ⋯ + X n . Jika kita dapat menemukan distribusi X ( n ) untuk semua n maka kita dapat menemukan distribusi N dengan menggunakan P ( N $K$$N$$K$$X_i$$i$$X^{(n)}=X_1+\dots+X_n$$X^{(n)}$$n$$N$ dan kita selesai.

$$P(N \ge n)= P(X_1+\dots+X_n \le K),$$

Sekarang, nilai yang mungkin untuk adalah n , n + 1 , n + 2 , ... , 6 n , dan untuk k dalam kisaran itu, untuk menemukan probabilitas P ( X 1 + ⋯ + X n = k ) , kita perlu menemukan jumlah total cara untuk menulis k sebagai jumlah dari tepat n bilangan bulat, semua dalam kisaran 1 , 2 , $X_1+\dots+X_n$$n,n+1,n+2,\dots,6n$$k$$P(X_1+\dots+X_n=k)$$k$$n$ . Tapi itu disebut komposisi integer terbatas, masalah yang dipelajari dengan baik dalam kombinatorik. Beberapa pertanyaan terkait pada matematika SE ditemukan oleh https://math.stackexchange.com/search?q=integer+compositions$1,2,\dots,6$

Jadi mencari dan mempelajari literatur kombinatorik kita bisa mendapatkan hasil yang tepat dan tenang. Saya akan menindaklanjutinya, tapi nanti ...

Ada formula tertutup sederhana dalam hal akar polinomial derajat-6.

Sebenarnya sedikit lebih mudah untuk mempertimbangkan kematian umum yang umum dengan $d\ge 2$ wajah yang berlabel angka $1,2,\ldots, d.$

Biarkan $e_k$ menjadi jumlah yang diharapkan dari gulungan yang dibutuhkan untuk sama atau melebihi $k.$ Untuk $k\le 0,$ $e_k=0.$ Kalau tidak, ekspektasinya adalah lebih dari ekspektasi jumlah gulungan untuk mencapai nilai sebelumnya, yang akan berada di antara $k-d, k-d+1, \ldots, k-1,$ mana

$$e_k = 1 + \frac{1}{d}\left(e_{k-d} + e_{k-d+1} + \cdots + e_{k-1}\right).\tag{1}$$

Hubungan perulangan linier ini memiliki solusi dalam bentuk

$$e_k = \frac{2k}{d+1} + \sum_{i=1}^d a_i \lambda_i^k\tag{2}$$

dimana $\lambda_i$ adalah $d$ akar kompleks dari polinomial

$$T^d - \frac{1}{d}(T^{d-1} + T^{d-2} + \cdots + T + 1).\tag{3}$$

Konstanta $a_i$ ditemukan dengan menerapkan solusi $(2)$ ke nilai $k=-(d-1), -(d-2), \ldots, -1, 0$ mana $e_k=0$ dalam setiap kasus. Ini memberikan satu set persamaan linear $d$ dalam konstanta $d$ dan ia memiliki solusi unik. Solusi itu dapat ditunjukkan dengan memverifikasi perulangan $(1)$menggunakan fakta bahwa setiap root memuaskan $(3):$

$$\eqalign{ 1 + \frac{1}{d}\sum_{j=1}^{d} e_{k-j} &= 1 + \frac{1}{d}\sum_{j=1}^{d} \left(\frac{2(k-j)}{d+1} + \sum_{i=1}^d a_i \lambda_i^{k-j}\right) \\ &= \frac{2k}{d+1} + \sum_{i=1}^d a_i \lambda_i^{k-d}\left[\frac{1}{d}(1 + \lambda_i + \cdots + \lambda_i^{d-1})\right] \\ &= \frac{2k}{d+1} + \sum_{i=1}^d a_i \lambda_i^{k-d}\lambda_i^d \\ &= \frac{2k}{d+1} + \sum_{i=1}^d a_i \lambda_i^k = e_k. }$$

Solusi bentuk tertutup ini memberi kami cara yang baik untuk memperkirakan jawaban serta mengevaluasinya secara akurat. (Untuk nilai $k,$ kecil sampai sedang , aplikasi langsung dari perulangan adalah teknik komputasi yang efektif.) Sebagai contoh, dengan $d=6$ kita dapat dengan mudah menghitung

$$e_{1\,000\,000} = 285714.761905\ldots$$

Untuk perkiraan, akan ada akar unik terbesar $\lambda_{+}=1$ sehingga akhirnya (untuk $k$ cukup besar ) istilah $\lambda_{+}^k$ akan mendominasi istilah $d$ dalam $(2).$Kesalahan akan menurun secara eksponensial sesuai dengan norma terkecil kedua dari akar. Melanjutkan contoh dengan $k=6,$ koefisien $\lambda_{+}$ adalah $a_{+}=0.4761905$ dan berikutnya terkecil norma adalah $0.7302500.$ (Kebetulan, yang lain $a_i$ cenderung sangat dekat dengan$1$ dalam ukuran.) Jadi kita dapat mendekati nilai sebelumnya sebagai

$$e_{1\,000\,000} \approx \frac{2\times 10^6}{6+1} + 0.4761905 = 285714.761905\ldots$$

dengan kesalahan pada urutan $0.7302500^{10^6} \approx 10^{-314\,368}.$

---

Untuk menunjukkan seberapa praktis solusi ini, berikut ini adalah Rkode yang mengembalikan fungsi untuk mengevaluasi $e_k$ untuk setiap $k$ (dalam lingkup perhitungan titik mengambang presisi ganda) dan tidak terlalu besar $d$ (itu akan macet sekali $d\gg 100$ ):

die <- function(d, mult=1, cnst=1, start=rep(0,d)) {
  # Create the companion matrix (its eigenvalues are the lambdas).
  X <- matrix(c(0,1,rep(0,d-1)),d,d+1)
  X[, d] <- mult/d
  lambda <- eigen(X[, 1:d], symmetric=FALSE, only.values=TRUE)$values

  # Find the coefficients that agree with the starting values.
  u <- 2*cnst/(d+1)
  a <- solve(t(outer(lambda, 1:d, `^`)), start - u*((1-d):0))

  # This function assumes the starting values are all real numbers.
  f <- Vectorize(function(i) Re(sum(a * lambda ^ (i+d))) + u*i)

  list(f=f, lambda=lambda, a=a, multiplier=mult, offset=cnst)
}

Sebagai contoh penggunaannya, ini menghitung ekspektasi untuk $k=1,2,\ldots, 16:$

round(die(6)$f(1:10), 3)

1.000 1.167 1.361 1.588 1.853 2.161 2.522 2.775 3.043 3.324 3.613 3.906 4.197 4.476 4.760 5.046

Objek itu kembali meliputi akar $\lambda_i$ dan pengganda mereka $a_i$ untuk analisa lebih lanjut. Komponen pertama dari array pengganda adalah koefisien yang berguna $a_{+}.$

(Jika Anda ingin tahu untuk apa parameter lainnya die, jalankan die(2, 2, 0, c(1,0))$f(1:10)dan lihat apakah Anda mengenali output ;-). Generalisasi ini membantu dalam mengembangkan dan menguji fungsi.)

tidak ada cara untuk mendapatkan jumlah gulungan yang diharapkan secara umum, tetapi untuk K.

Misalkan N adalah acara rolling yang diharapkan untuk mendapatkan jumlah => K.

untuk K = 1, E (N) = 1

untuk K = 2, $E(N)=(\frac{5}{6}+2*1)/(\frac{5}{6}+1)=\frac{17}{11}$

dan seterusnya.

Akan sulit untuk mendapatkan E (N) untuk K. besar misalnya, untuk K = 20 Anda harus mengharapkan dari (4 gulungan, 20 gulungan)

$$K(Sum)~follows~N(3.5N,\frac{35N}{12})$$

$$\frac{K-3.5N}{\sqrt{\frac{35N}{12}}}=Z_\alpha$$ $\alpha=1-confidence$$Z_{0.01}=2.31,Z_{0.001}=2.98$

Anda tahu K, Z (pada kesalahan apa pun) ........ maka Anda bisa mendapatkan N = E (N) pada tingkat kepercayaan% dengan menyelesaikan persamaan.

$X_i$$i$$N$$k$

$$P(N \ge n) = P(X_1+X_2+\dots+X_n \le k)$$ $N$$X_i$$i=1,2,\dots,n$$n$$n$

$X_i$

$$M(T) = E e^{tX_i}= \frac16 (e^t+e^{2t}+e^{3t}+e^{4t}+e^{5t}+e^{6t})$$ $n$ $$K_n(t)=n \cdot log(\frac16\sum_{i=1}^6 e^{it})$$ $K$

 DD <- function(expr, name, order = 1) {
        if(order < 1) stop("'order' must be >= 1")
        if(order == 1) D(expr, name)
        else DD(D(expr, name), name, order - 1)
     }

make_cumgenfun  <-  function() {
    fun0  <-  function(n, t) n*log(mean(exp((1:6)*t)))
    fun1  <-  function(n, t) {}
    fun2  <-  function(n, t) {}
    fun3  <-  function(n, t) {}
    d1  <-  DD(expression(n*log((1/6)*(exp(t)+exp(2*t)+exp(3*t)+exp(4*t)+exp(5*t)+exp(6*t)))),  "t", 1)
    d2  <-  DD(expression(n*log((1/6)*(exp(t)+exp(2*t)+exp(3*t)+exp(4*t)+exp(5*t)+exp(6*t)))),  "t", 2)
    d3  <-  DD(expression(n*log((1/6)*(exp(t)+exp(2*t)+exp(3*t)+exp(4*t)+exp(5*t)+exp(6*t)))),  "t", 3)
    body(fun1)  <-  d1
    body(fun2)  <-  d2
    body(fun3)  <-  d3
    return(list(fun0,  fun1,  fun2,  fun3))
}

Selanjutnya, kita harus menyelesaikan persamaan saddlepoint.

Itu dilakukan oleh kode berikut:

funlist  <-  make_cumgenfun()

# To solve the saddlepoint equation for n,  k:
solve_speq  <-   function(n, k)  {# note that n+1 <= k <= 6n is needed
    Kd  <-  function(t) funlist[[2]](n, t)
    k  <-  k-0.5
    uniroot(function(s) Kd(s)-k,  lower=-100,  upper=1,  extendInt="upX")$root
}

$k$

Fungsi untuk mengembalikan probabilitas ekor:

#

Ghelp  <-  function(n, k) {
    stilde  <-  solve_speq(n, k)
    K  <-  function(t) funlist[[1]](n, t)
    Kd <-  function(t) funlist[[2]](n, t)
    Kdd <- function(t) funlist[[3]](n, t)
    Kddd <- function(t) funlist[[4]](n, t)
    w2tilde  <-  sign(stilde)*sqrt(2*(stilde*(k-0.5)-K(stilde)))  
    u2tilde  <-  2*sinh(stilde/2)*sqrt(Kdd(stilde))
    mu  <-  Kd(0)
    result  <- if (abs(mu-(k-0.5)) <= 0.001) 0.5-Kddd(0)/(6*sqrt(2*pi)*Kdd(0)^(3/2))  else
    1-pnorm(w2tilde)-dnorm(w2tilde)*(1/w2tilde - 1/u2tilde)
    return(result)
}
G  <- function(n, k) {
      fun  <- function(k) Ghelp(n, k)
      Vectorize(fun)(k)
  }

$$P(N \ge n) = P(X_1+X_2+\dots+X_n \le k) \\ = 1-P(X_1+\dots+X_n \ge k+1) \\ = 1-G(n,k+1)$$ $G$

$K=20$$n=20$

$N \ge 19$

> 1-G(20, 21)
[1] 2.220446e-16

$N\ge 10$

> 1-G(10, 21)
[1] 0.002880649

Dan seterusnya. Dengan menggunakan semua ini, Anda bisa mendapatkan perkiraan untuk ekspektasi sendiri. Ini harus jauh lebih baik daripada perkiraan berdasarkan teorema limit pusat.