Distribusi non-normal dengan nol skewness dan nol kelebihan kurtosis?

Sebagian besar pertanyaan teoretis. Adakah contoh distribusi tidak normal yang memiliki empat momen pertama sama dengan yang normal? Mungkinkah mereka ada dalam teori?

Ya, contoh dengan skewness dan kelebihan kurtosis, keduanya nol, relatif mudah dikonstruksi. (Memang contoh (a) hingga (d) di bawah ini juga memiliki kemiringan median mean-median Pearson 0)

(a) Misalnya, dalam jawaban ini contoh diberikan dengan mengambil 50-50 campuran gamma variate, (yang saya sebut ), dan negatif dari yang kedua, yang memiliki kerapatan yang terlihat seperti ini:$X$

Jelas hasilnya simetris dan tidak normal. Parameter skala tidak penting di sini, jadi kita bisa membuatnya 1. Pilihan hati-hati dari parameter bentuk gamma menghasilkan kurtosis yang diperlukan:

1. Varian dari gamma ganda ( ) ini mudah dikerjakan dalam hal variasi gamma yang didasarkan pada: .$Y$$\text{Var}(Y)=E(X^2)=\text{Var}(X)+E(X)^2=\alpha+\alpha^2$

2. Momen sentral keempat dari variabel adalah sama dengan , yang untuk gamma ( ) adalah$Y$$E(X^4)$$\alpha$$\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)$

Akibatnya kurtosis adalah . Ini adalah ketika , yang terjadi ketika .$\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha^2(\alpha+1)^2}=\frac{(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha(\alpha+1)}$$3$$(\alpha+2)(\alpha+3)=3\alpha(\alpha+1)$$\alpha=(\sqrt{13}+1)/2\approx 2.303$

(B) Kita juga bisa membuat contoh sebagai campuran skala dua seragam. Biarkan dan biarkan , dan biarkan . Jelas dengan mempertimbangkan bahwa adalah simetris dan memiliki rentang yang terbatas, kita harus memiliki ; kemiringan juga akan menjadi 0 dan momen pusat dan momen mentah akan sama.$U_1\sim U(-1,1)$$U_2\sim U(-a,a)$$M=\frac12 U_1+\frac12 U_2$$M$$E(M)=0$

$\text{Var}(M)=E(M^2)=\frac12\text{Var}(U1)+\frac12\text{Var}(U_2)=\frac16[1+a^2]$ .

Demikian pula, dan kurtosisnya adalah$E(M^4)=\frac{1}{10} (1+a^4)$$\frac{\frac{1}{10} (1+a^4)}{[\frac16 (1+a^2)]^2}=3.6\frac{1+a^4}{(1+a^2)^2}$

Jika kita memilih , maka kurtosis adalah 3, dan kepadatannya seperti ini:$a=\sqrt{5+\sqrt{24}}\approx 3.1463$

(c) ini contoh yang menyenangkan. Biarkan , untuk .$X_i\stackrel{_\text{iid}}{\sim}\text{Pois}(\lambda)$$i=1,2$

Biarkan menjadi campuran 50-50 dari dan :$Y$$\sqrt{X_1}$$-\sqrt{X_2}$

oleh simetri (kita juga membutuhkan menjadi terbatas tetapi mengingat adalah terbatas, kita memilikinya)$E(Y)=0$$E(|Y|)$$E(X_1)$

$Var(Y)=E(Y^2)=E(X_1)=\lambda$

oleh simetri (dan fakta bahwa momen ke-3 absolut ada) condong = 0

Momen ke-4:$E(Y^4) = E(X_1^2) = \lambda+\lambda^2$

kurtosis =$\frac{\lambda+\lambda^2}{\lambda^2}= 1+1/\lambda$

jadi ketika , kurtosis adalah 3. Ini adalah kasus yang digambarkan di atas.$\lambda=\frac12$

(d) semua contoh saya sejauh ini simetris, karena jawaban simetris lebih mudah dibuat - tetapi solusi asimetris juga dimungkinkan. Berikut ini contohnya.

Seperti yang Anda lihat, tidak satu pun dari contoh-contoh ini terlihat sangat "normal". Ini akan menjadi masalah sederhana untuk membuat sejumlah variabel diskrit, kontinu atau campuran dengan sifat yang sama. Walaupun sebagian besar contoh saya dibuat sebagai campuran, tidak ada yang istimewa dengan campuran, selain itu sering kali merupakan cara yang nyaman untuk membuat distribusi dengan properti seperti yang Anda inginkan, sedikit seperti membangun sesuatu dengan Lego.

Jawaban ini memberikan beberapa detail tambahan tentang kurtosis yang seharusnya membuat beberapa pertimbangan yang terlibat dalam membangun contoh lain sedikit lebih jelas.

Anda dapat mencocokkan lebih banyak momen dengan gaya yang serupa, meskipun itu membutuhkan lebih banyak upaya untuk melakukannya. Namun, karena MGF normal ada, Anda tidak dapat mencocokkan semua momen integer normal dengan beberapa distribusi non-normal, karena itu berarti pertandingan MGF mereka, menyiratkan distribusi kedua juga normal.

Poin bagus dibuat oleh Glen_b. Saya hanya akan menambahkan pertimbangan fungsi Delta Dirac sebagai tambahan tambahan untuk pabrik. Sebagai catatan Wikipedia, "DDF adalah fungsi umum, atau distribusi, pada garis bilangan real yang nol di mana-mana kecuali nol, dengan integral satu di atas seluruh garis nyata" dengan konsekuensi bahwa semua momen lebih tinggi dari DDF adalah nol.

Paul Dirac menerapkannya pada mekanika kuantum dalam bukunya tahun 1931, The Principles of Quantum Mechanics, tetapi asalnya berasal dari Fourier, Lesbesgue, Cauchy, dan lainnya. DDF juga memiliki analog fisik dalam memodelkan distribusi, misalnya, celah kelelawar yang mengenai bola bisbol.