Bagaimana Membuktikan Bahwa Suatu Acara Sering Terjadi (Hampir Pasti)?

Latihan: Ada dadu 6 sisi yang adil dan koin bias yang memiliki probabilitas p> 0 untuk muncul di setiap lemparan. Mati akan sering digulung tak terbatas, dan setiap kali Anda menggulung 6, Anda kemudian melemparkan koin. Buktikan bahwa dengan probabilitas 1, Anda sering melempar "kepala" tanpa batas.

Sekarang, saya mendapatkan pertanyaan ini secara intuitif; gulungan dadu yang tak terhingga berarti kejadian tak terbatas dari setiap angka pada dadu termasuk 6, ini berarti koin juga akan dibalik jumlah kali yang tak terbatas dan karena ada peluang yang dijamin untuk kepala menjadi hasil, kita juga akan mendapatkan jumlah tak terbatas kepala.

Saya tidak yakin bagaimana mengungkapkan ini dalam notasi matematika dan saya berharap seseorang di sini dapat membantu saya.

Ruang sampel terdiri dari tujuh kemungkinan hasil: "1" hingga "5" pada cetakan, "6" dan "ekor", dan "6" dan "kepala." Mari kita menyingkat ini sebagai$\Omega=\{1,2,3,4,5,6T,6H\}$.

Peristiwa akan dihasilkan oleh atom $\{1\}, \{2\}, \ldots, \{6H\}$ dan karenanya semua himpunan bagian dari $\Omega$ bisa diukur.

Ukuran probabilitas $\mathbb{P}$ditentukan oleh nilainya pada atom-atom ini. Informasi dalam pertanyaan, bersama dengan asumsi (masuk akal) bahwa lemparan koin tidak tergantung pada lemparan mati, memberi tahu kita probabilitas tersebut sebagaimana diberikan dalam tabel ini:

$$\begin{array}{lc} \text{Outcome} & \text{Probability} \\ 1 & \frac{1}{6} \\ 2 & \frac{1}{6} \\ 3 & \frac{1}{6} \\ 4 & \frac{1}{6} \\ 5 & \frac{1}{6} \\ \text{6T} & \frac{1-p}{6} \\ \text{6H} & \frac{p}{6} \end{array}$$

Urutan realisasi independen $X$ adalah urutan $(\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n, \ldots)$ semua elemen yang ada di dalamnya $\Omega$. Mari kita sebut himpunan semua urutan seperti itu$\Omega^\infty$. Masalah mendasar di sini terletak pada berurusan dengan urutan yang tak terbatas . Gagasan yang memotivasi di balik solusi berikut ini adalah untuk tetap menyederhanakan perhitungan probabilitas sampai dapat dikurangi untuk menghitung probabilitas suatu peristiwa yang terbatas . Ini dilakukan secara bertahap.

Pertama, untuk membahas probabilitas sama sekali, kita perlu menentukan ukuran $\Omega^\infty$ yang membuat acara seperti "$6H$ sering terjadi tak terhingga sering "ke dalam set terukur. Ini dapat dilakukan dalam hal set" dasar "yang tidak melibatkan spesifikasi nilai yang tak terbatas. Karena kita tahu bagaimana mendefinisikan probabilitas $\mathbb{P}_n$pada set urutan panjang yang terbatas$n$, $\Omega^n$, mari kita tentukan "ekstensi" dari setiap terukur $E \subset \Omega^n$ terdiri dari semua urutan yang tak terbatas $\omega\in\Omega^\infty$ yang memiliki beberapa elemen $E$ sebagai awalan mereka:

$$E^\infty = \{(\omega_i)\in\Omega^\infty\,|\, (\omega_1,\ldots,\omega_n)\in E\}.$$

Aljabar-sigma terkecil pada $\Omega^\infty$ yang berisi semua set tersebut adalah yang akan kami kerjakan.

Ukuran probabilitas $\mathbb{P}_\infty$ di $\Omega^\infty$ ditentukan oleh probabilitas hingga $\mathbb{P}_n$. Itu untuk semuanya$n$ dan semua $E\subset \Omega^n$,

$$\mathbb{P}_\infty(E^\infty) = \mathbb{P}_n(E).$$

(Pernyataan sebelumnya tentang aljabar sigma pada $\Omega^\infty$ dan ukurannya $\mathbb{P}_\infty$ adalah cara elegan untuk melakukan apa yang akan berarti argumen terbatas.)

Setelah mengatur formalitas ini, kita dapat melakukan perhitungan. Untuk memulai, kita perlu menetapkan bahwa bahkan masuk akal untuk mendiskusikan "probabilitas" dari$6H$sering terjadi tanpa batas. Peristiwa ini dapat dibangun sebagai persimpangan dari jenis acara "$6H$ setidaknya terjadi $n$ kali ", untuk $n=1, 2, \ldots$. Karena itu adalah persimpangan yang dapat dihitung dari set yang terukur, itu dapat diukur, sehingga kemungkinannya ada.

Kedua, kita perlu menghitung probabilitas ini $6H$sering terjadi tanpa batas. Salah satu caranya adalah dengan menghitung probabilitas peristiwa pelengkap: apa peluangnya itu$6H$hanya terjadi berulang kali? Acara ini$E$ akan terukur, karena itu merupakan pelengkap dari set yang terukur, seperti yang telah kami buat. $E$ dapat dipartisi menjadi acara $E_n$ dari bentuk "$6H$ persis terjadi $n$ kali ", untuk $n=0, 1, 2, \ldots$. Karena hanya ada banyak dari ini, kemungkinan$E$ akan menjadi jumlah (yang dapat dihitung) dari probabilitas $E_n$. Apa probabilitas ini?

Sekali lagi kita dapat melakukan partisi: $E_n$ masuk ke berbagai acara $E_{n,N}$ dari bentuk "$6H$ persis terjadi $n$ waktu bergulir $N$dan tidak pernah terjadi lagi. "Peristiwa ini terpisah dan dapat dihitung jumlahnya, jadi yang harus kita lakukan (lagi!) adalah untuk menghitung peluang mereka dan menambahkannya. Tetapi akhirnya kita telah mengurangi masalah menjadi perhitungan terbatas :$\mathbb{P}_\infty(E_{n,N})$adalah tidak lebih besar dari kesempatan dari setiap terbatas acara dalam bentuk "$6H$ terjadi untuk $n^\text{th}$ waktu di roll $N$ dan tidak terjadi di antara gulungan $N$ dan $M \gt N$"Perhitungannya mudah karena kita tidak benar - benar perlu mengetahui detailnya: setiap kali $M$ meningkat sebesar $1$, kesempatan - apa pun itu - lebih jauh dikalikan dengan kesempatan itu $6H$ tidak digulung, yang $1-p/6$. Kami dengan demikian memperoleh urutan geometris dengan rasio umum$r = 1-p/6 \lt 1$. Terlepas dari nilai awal, itu tumbuh semau kecil$M$ menjadi besar.

(Perhatikan bahwa kami tidak perlu mengambil batas probabilitas: kami hanya perlu menunjukkan bahwa probabilitas $E_{n,N}$ dibatasi di atas oleh angka yang konvergen ke nol.)

Karena itu $\mathbb{P}_\infty(E_{n,N})$ tidak dapat memiliki nilai lebih dari $0$, dari mana itu harus sama $0$. Demikian,

$$\mathbb{P}_\infty(E_n) = \sum_{N=0}^\infty \mathbb{P}_\infty(E_{n,N}) = 0.$$

Di mana kita? Kami baru saja menetapkan itu untuk apa saja$n \ge 0$, kesempatan untuk mengamati dengan tepat $n$ hasil dari $6H$adalah nihil. Dengan menambahkan semua nol ini, kami menyimpulkan itu

$$\mathbb{P}_\infty(E) = \sum_{n=0}^\infty \mathbb{P}_\infty(E_n) = 0.$$ Ini kesempatannya $6H$hanya terjadi berulang kali. Alhasil, kemungkinan itu$6H$ terjadi berkali-kali tak terhingga $1-0 = 1$, QED .

---

Setiap pernyataan dalam paragraf sebelumnya sangat jelas bersifat sepele secara intuitif. Latihan mendemonstrasikan kesimpulannya dengan ketelitian, menggunakan definisi aljabar sigma dan ukuran probabilitas, membantu menunjukkan bahwa definisi ini adalah yang tepat untuk bekerja dengan probabilitas, bahkan ketika sekuens tak terbatas terlibat.

Anda memiliki dua jawaban yang bagus untuk menjawab pertanyaan menggunakan prinsip probabilitas dasar. Berikut adalah dua teorema yang membantu Anda menjawab pertanyaan ini dengan cepat dalam situasi yang solusinya tepat:

The Law Kuat Bilangan Besar (SLLN) memberitahu Anda bahwa untuk variabel acak independen dan terdistribusi secara identik dengan mean terbatas, mean konvergen sampel untuk mean sebenarnya hampir pasti.

Itu Second Borel-Cantelli Lemma (BC2) memberitahu Anda bahwa jika jumlah probabilitas dari urutan peristiwa independen tak terbatas, maka tak terhingga banyak dari peristiwa-peristiwa yang akan terjadi hampir pasti.

Inilah cara ini menjawab pertanyaan Anda menggunakan SLLN:

Membiarkan $Y_i$ ambil nilai 1 jika Anda menggulung 6 dan membalikkan kepala saat uji coba $i$, dan nol jika tidak. Kemudian$Y_i$ adalah variabel acak Bernoulli dengan probabilitas keberhasilan $\theta:=p/6>0$. Oleh SLLN,$\sum_{i=1}^n Y_i/n \to \theta$hampir pasti. Tapi kita harus punya$\sum_{i=1}^n Y_i \to \infty$ hampir pasti, itulah yang ingin kami tunjukkan.

Inilah cara ini menjawab pertanyaan Anda menggunakan BC2:

Membiarkan $E_i$ menjadi acara yang Anda putar 6 dan flip kepala di percobaan $i$. Kemudian$P(E_i)=p/6>0$, untuk setiap $i$, dan akibatnya $\sum_{i=1}^nP(E_i)\to\infty$. Dengan demikian, oleh BC2 tak terhingga banyaknya peristiwa$E_i$ akan terjadi hampir pasti, itulah yang ingin kami tunjukkan.

Saya menekankan bahwa kedua jawaban ini membutuhkan banyak mesin yang disembunyikan dalam dua teorema, dan siapa pun yang tertarik untuk menjawab ini dan pertanyaan serupa harus memutuskan apakah mereka cocok.

Tanpa mengandalkan teori probabilitas tingkat lanjut apa pun seperti dalam jawaban RayVelcoro, orang dapat melanjutkan sebagai berikut. Membiarkan$I_j$ menunjukkan peristiwa bahwa para kepala final dicapai pada $j^{\text{th}}$lempar dadu. Kemudian, dengan aditivitas yang dapat dihitung, probabilitas jumlah kepala yang terbatas adalah

$$\sum_{j=0}^\infty P(I_j) \stackrel{?}{=} 0.$$ Sekarang sudah cukup untuk menunjukkan itu $P(I_j) = 0$ untuk semua $j$. Untuk melakukan ini, biarkan$A_{j,n}$ menunjukkan acara yang "setelah $n$ gulungan mati, kepala terakhir terjadi pada $j^{\text{th}}$ roll ". Sekarang, jelas $I_j \subseteq A_{j,n}$ untuk semua $n$, dan karenanya $P(I_j) \le P(A_{j,n})$; mengambil$n \to \infty$ untuk melihat itu $P(I_j) \le \lim_{n \to \infty} P(A_{j,n}) = 0$. $P(A_{j,n})$ dapat dihitung secara langsung dengan cara yang jelas (itu adalah probabilitas keberhasilan yang diikuti oleh $n-j - 1$ kegagalan oleh kemerdekaan).

(EDIT: Ini mungkin kurang lebih setara dengan jawaban @whuber, tetapi dengan sedikit formalitas / detail, karena saya mengasumsikan OP tidak dalam kerangka ukuran-teoretis.)