Berapakah distribusi untuk maksimum (minimum) dari dua variabel acak normal independen?

Secara khusus, anggap dan adalah variabel acak normal (independen tetapi tidak harus terdistribusi secara identik). Dengan adanya , apakah ada formula yang bagus untuk atau konsep serupa? Apakah kita tahu bahwa \ max (X, Y) terdistribusi normal, mungkin rumus untuk mean dan standar deviasi dalam hal untuk X dan Y ? Saya memeriksa tempat-tempat yang biasa (wikipedia, google) tetapi tidak menemukan apa pun.$X$$Y$$a$maks ( X , Y ) X $P(\max(X,Y)\leq x)$$\max(X,Y)$$X$$Y$

Maks dari dua Normals yang tidak identik dapat dinyatakan sebagai distribusi condong-Normal Azzalini. Lihat, misalnya, kertas kerja / presentasi 2007 oleh Balakrishnan

Pandangan yang Timpang pada Statistik Urutan Bivariat dan Multivariat,
Prof. N. Balakrishnan
Kertas kerja / presentasi (2007)

Makalah baru-baru ini oleh ( Nadarajah dan Kotz - dapat dilihat di sini ) memberikan beberapa properti max :$(X,Y)$

Nadarajah, S. dan Kotz, S. (2008), "Distribusi Persis Max / Min dari Dua Variabel Acak Gaussian", TRANSAKSI IEEE PADA SISTEM INTEGRASI SKALA SANGAT BESAR (VLSI), VOL. 16, TIDAK. 2, FEBRUARI 2008

Untuk pekerjaan sebelumnya, lihat:

AP Basu dan JK Ghosh, "Identifikasi multinormal dan distribusi lainnya di bawah model risiko yang bersaing," J. Multivariate Anal., Vol. 8, hlm. 413–429, 1978

HN Nagaraja dan NR Mohan, “Tentang kemandirian distribusi kehidupan sistem dan penyebab kegagalan,” Scandinavian Actuarial J., hlm. 188–198, 1982.

YL Tong, Distribusi Normal Multivariat. New York: Springer-Verlag, 1990.

Satu juga dapat menggunakan sistem aljabar komputer untuk mengotomatisasi perhitungan. Misalnya, diberikan dengan pdf , dan dengan pdf :$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$$f(x)$$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$$g(y)$

... pdf dari adalah:$Z = max(X,Y)$

di mana saya menggunakan Maximumfungsi dari paket mathStatica dari Mathematica , dan Erfmenunjukkan fungsi kesalahan.

Saya terkejut bahwa dalam jawaban sebelumnya properti paling menarik tidak disebutkan: distribusi probabilitas kumulatif untuk maksimum adalah produk dari masing-masing distribusi probabilitas kumulatif.