Nilai yang diharapkan dari variabel acak iid

Saya menemukan derivasi ini yang saya tidak mengerti: Jika adalah sampel acak ukuran n yang diambil dari populasi mean dan varians , maka$X_1, X_2, ..., X_n$$\mu$$\sigma^2$

$\bar{X} = (X_1 + X_2 + ... + X_n)/n$

$E(\bar{X}) = E(X_1 + X_2 + ... + X_n)/n = (1/n)(E(X_1) + E(X_2) + ... + E(X_n))$

$E(\bar{X}) = (1/n)(\mu + \mu + ...n ~\text{times}) = \mu$

Di sinilah aku tersesat. Argumen yang digunakan adalah karena terdistribusi secara identik. Pada kenyataannya ini tidak benar. Misalkan saya punya sampel, dan kemudian jika secara acak pilih 2 angka dengan penggantian dan ulangi prosedur ini 10 kali, maka saya mendapatkan 10 sampel: (5, 4) (2, 5) (1, 2) (4, 1) (4, 6) (2, 4) (6, 1) (2, 4) (3, 1) (5, 1). Beginilah tampilannya untuk 2 variabel acak . Sekarang jika saya mengambil nilai ekspektasi saya dapatkan,$E(X_i) = \mu$$S=\{1,2,3,4,5,6\}$$X_1, X_2$$X_1$

$E(X_1) = 1.(1/10) + 2.(3/10) + 3.(1/10) + 4.(2/10) + 5.(2/10) + 6.(1/10) = 34/10 = 3.4$

Tetapi nilai yang diharapkan dari populasi adalah 3,5. Apa yang sebenarnya salah dalam alasan saya?

Pertama-tama, bukan sampel. Ini adalah variabel acak seperti yang ditunjukkan oleh Tim. Misalkan Anda melakukan percobaan di mana Anda memperkirakan jumlah air dalam suatu makanan; untuk itu Anda katakan 100 pengukuran kadar air untuk 100 item makanan berbeda. Setiap kali Anda mendapatkan nilai kadar air. Di sini kadar airnya adalah variabel acak dan Sekarang anggaplah ada total 1000 makanan yang ada di dunia. 100 jenis makanan berbeda akan disebut sampel dari 1.000 jenis makanan ini. Perhatikan bahwa kadar air adalah variabel acak dan 100 nilai kadar air yang diperoleh dijadikan sampel. $X_1, X_2,...,X_n$

Misalkan Anda secara acak sampel n nilai dari distribusi probabilitas, secara independen dan identik, Ini diberikan bahwa . Sekarang Anda perlu mengetahui nilai yang diharapkan dari . Karena masing-masing adalah sampel yang independen dan identik, nilai yang diharapkan dari masing-masing adalah . Karena itu Anda mendapatkan .$E(X)=\mu$$\bar{X}$$X_i$$X_i$$\mu$$\frac{n\mu}{n} =\mu$

Persamaan ketiga dalam pertanyaan Anda adalah kondisi bagi penaksir untuk menjadi penaksir yang tidak bias dari parameter populasi. Kondisi untuk estimator menjadi tidak memihak adalah

di mana theta adalah parameter populasi dan adalah parameter yang diestimasi berdasarkan sampel.$\bar{\theta}$

Dalam contoh Anda, populasi Anda adalah dan Anda telah diberi sampel nilai iid yaitu . Pertanyaannya adalah bagaimana Anda memperkirakan rata-rata populasi yang diberikan sampel ini. Menurut rumus di atas, rata-rata sampel adalah penaksir rata-rata dari rata-rata populasi. Estimator yang tidak bias tidak harus sama dengan rata-rata aktual, tetapi sedekat mungkin dengan yang Anda dapatkan dari informasi ini.$\{1,2,3,4,5,6\}$$10$$\{5,2,1,4,4,2,6,2,3,5\}$