Visualisasikan distribusi binomial bivariat

Pertanyaan: seperti apa distribusi binomial bivariat dalam ruang 3 dimensi?

Di bawah ini adalah fungsi spesifik yang ingin saya visualisasikan untuk berbagai nilai parameter; yaitu, , , dan . $n$ $p_{1}$ $p_{2}$

f (x_{1}, x_{2}) = \frac{n!}{x_{1}! x_{2}!} p_{1}^{x_{1}} p_{2}^{x_{2}}, x_{1} + x_{2} = n, p_{1} + p_{2} = 1.

$f(x_{1},x_{2}) = \frac{n!}{x_{1}!x_{2}!}p_{1}^{x_{1}}p_{2}^{x_{2}}, \qquad x_{1}+x_{2}=n, \quad p_{1}+p_{2}=1.$

Perhatikan bahwa ada dua kendala; dan . Selain itu, adalah bilangan bulat positif, katakanlah, . $x_{1}+x_{2}=n$ $p_{1}+p_{2}=1$ $n$ $5$

In telah melakukan dua upaya untuk merencanakan fungsi menggunakan LaTeX (TikZ / PGFPLOTS). Dengan melakukan itu, saya mendapatkan grafik di bawah ini untuk nilai-nilai berikut: , dan , dan, , dan , masing-masing. Saya belum berhasil menerapkan batasan pada nilai domain; , jadi saya agak bingung. $n=5$ $p_{1}=0.1$ $p_{2}=0.9$ $n=5$ $p_{1}=0.4$ $p_{2}=0.6$ $x_{1}+x_{2}=n$

Visualisasi yang diproduksi dalam bahasa apa pun akan baik-baik saja (R, MATLAB, dll.), Tetapi saya bekerja di LaTeX dengan TikZ / PGFPLOTS.

Percobaan pertama

, dan $n=5$ $p_{1}=0.1$ $p_{2}=0.9$

Usaha kedua

, dan $n=5$ $p_{1}=0.4$ $p_{2}=0.6$

Edit:

Untuk referensi, berikut adalah artikel yang berisi beberapa grafik. Judul makalah adalah "Distribusi binomial bivariat baru" oleh Atanu Biswasa dan Jing-Shiang Hwang. Statistik & Probabilitas Letters 60 (2002) 231-240.

Sunting 2: Untuk kejelasan, dan sebagai tanggapan terhadap @GlenB dalam komentar, di bawah ini adalah cuplikan bagaimana distribusi telah disajikan kepada saya dalam buku saya. Buku ini tidak mengacu pada kasus-kasus yang merosot / tidak merosot dan sebagainya. Ini hanya menyajikannya seperti itu dan saya berusaha memvisualisasikannya. Bersulang! Juga, sebagaimana ditunjukkan oleh @JohnK, kemungkinan ada kesalahan ketik berkaitan dengan x1 + x1 = 1, yang ia sarankan harus x1 + x1 = n.

Gambar persamaan dari:

Spanos, A (1986) Statistik dasar pemodelan ekonometrik. Cambridge University Press

— Graeme Walsh
sumber

Tapi itu seharusnya tidak berkelanjutan, bukan? Kedua variabel acak tersebut diskrit.

— JohnK

Jadi x1 & x2 independen, apakah itu benar? Anda membutuhkan plot pseudo-3D? Apakah peta panas dapat diterima?

— gung - Reinstate Monica

sesuatu seperti ini ?

— Antoni Parellada

x_{1} + x_{2} = n

$x_1+x_2=n$

p_{1} + p_{2} = 1

$p_1+p_2=1$

X_{1} \sim Binomial (n, p_{1})

$X_1\sim \text{Binomial}(n,p_1)$

X_{2}

$X_2$

n - X_{1}

$n-X_1$

Anda tidak memiliki spesifikasi untuk binomial bivariat dalam pertanyaan Anda. (Ada lebih dari satu cara untuk menentukan distribusi bivariat yang masuk akal bisa disebut "binomial". Anda tidak memiliki salah satu dari mereka, meskipun yang merosot Anda akan menjadi kasus khusus dari beberapa dari mereka.) ... gambar di referensi Biswasa & Hwang Anda bukan tampilan yang cocok dari PMF bivariat diskrit. Singkatnya, pertanyaan Anda tidak memiliki apa-apa untuk menggambar, dan referensi Anda berguna terutama sebagai contoh apa yang harus dihindari.

— Glen_b -Reinstate Monica

Jawaban:

Ada dua bagian untuk ini: pertama Anda perlu mencari tahu apa probabilitas masing-masing, maka Anda perlu merencanakannya entah bagaimana.

$n_i = n_j = 5$ $0$ $6\times 6 = 36$

Pertama-tama kita dapat menghitung PMF binomial marginal, karena itu sangat mudah. Karena variabel independen, setiap probabilitas gabungan hanya akan menjadi produk dari probabilitas marginal; ini adalah aljabar matriks. Di sini saya menunjukkan proses ini menggunakan Rkode:

b1 = dbinom(0:5, size=5, prob=0.1);  sum(b1)  # [1] 1
b9 = dbinom(0:5, size=5, prob=0.9);  sum(b9)  # [1] 1
b4 = dbinom(0:5, size=5, prob=0.4);  sum(b4)  # [1] 1
b6 = dbinom(0:5, size=5, prob=0.6);  sum(b6)  # [1] 1

b19 = b1%o%b9;  sum(b19)  # [1] 1
rownames(b19) <- colnames(b19) <- as.character(0:5)
round(b19, 6)
#       0        1        2        3        4        5
# 0 6e-06 0.000266 0.004783 0.043047 0.193710 0.348678
# 1 3e-06 0.000148 0.002657 0.023915 0.107617 0.193710
# 2 1e-06 0.000033 0.000590 0.005314 0.023915 0.043047
# 3 0e+00 0.000004 0.000066 0.000590 0.002657 0.004783
# 4 0e+00 0.000000 0.000004 0.000033 0.000148 0.000266
# 5 0e+00 0.000000 0.000000 0.000001 0.000003 0.000006
b46 = b4%o%b6;  sum(b46)  # [1] 1
rownames(b46) <- colnames(b46) <- as.character(0:5)
round(b46, 3)
#       0     1     2     3     4     5
# 0 0.001 0.006 0.018 0.027 0.020 0.006
# 1 0.003 0.020 0.060 0.090 0.067 0.020
# 2 0.004 0.027 0.080 0.119 0.090 0.027
# 3 0.002 0.018 0.053 0.080 0.060 0.018
# 4 0.001 0.006 0.018 0.027 0.020 0.006
# 5 0.000 0.001 0.002 0.004 0.003 0.001

Pada titik ini, kami memiliki dua matriks probabilitas yang diperlukan. Kita hanya perlu memutuskan bagaimana kita ingin merencanakannya. Sejujurnya, saya bukan penggemar grafik bar 3D. Karena Rtampaknya setuju dengan saya, saya membuat plot ini di Excel:

b19:

b46:

— gung - Pasang kembali Monica
sumber

Terima kasih atas presentasi plus kode R. Ini membuat saya bertanya tentang x1 + x2 = n. Jika kondisi ini berlaku, haruskah hanya ada satu baris pilar seperti yang disajikan di sini: reference.wolfram.com/language/ref/MultinomialDistribution.html Grafik wolfram yang saya asumsikan adalah apa yang oleh @Glen_b disebut sebagai kasus degenerasi? Apakah ini berarti Anda telah menyajikan kasus yang tidak merosot?

— Graeme Walsh

GraemeWalsh, presentasi saya tidak menunjukkan binomial bivariat di mana x1 + x2 = n. Ketika @Glen_b membahas secara luas dalam komentar & jawabannya, saya tidak akan benar-benar menyebutnya "distribusi binomial bivariat" tanpa kualifikasi. Selain itu, itu berarti bahwa x1 & x2 tidak independen, seperti yang Anda katakan di komentar respons Anda, tetapi sangat tergantung. Sebenarnya, saya tidak memperhatikan bahwa ini adalah varian yang aneh (Anda dapat menyalahkan saya karena tidak membaca dengan cermat). Seperti yang ditunjukkan Glen_b, versi itu akan menjadi satu baris pilar. Apa yang saya sampaikan adalah kasus yang tidak merosot.

— gung - Pasang kembali Monica

@ung, saya suka plot baru Anda. Saya pikir diskusi Anda mencakup kasus degenerasi dengan baik ("Anda perlu mencari tahu apa probabilitas individu" benar-benar mengatakan segalanya; perhitungan aktual untuk kasus degenerasi sepele); Saya hanya melakukan perhitungan sepele itu.

— Glen_b -Reinstate Monica

jawaban gung adalah jawaban yang baik untuk binomial bivariat yang sebenarnya, menjelaskan masalah dengan baik (saya sarankan menerimanya sebagai jawaban yang baik untuk pertanyaan judul, kemungkinan besar berguna bagi orang lain).

$x_1$ $n$

Jadi mari kita mendefinisikan semuanya dengan benar. Perhatikan bahwa tidak ada definisi dari variabel acak yang benar-benar ditawarkan, jadi kami tinggal menebak.

$Y_1\sim \text{binomial}(n,p_1),\:$ $P(Y_1=y_1)$ $y_1$ $y_1=0,1,...,n$ $X_1=Y_1/n$ $x_1=0,\frac16,\frac26,...,1$

$P(X_1=x_1)$ $x_2=n-x_1$ $p_2=1-p_1$

$n=6,p_1=0.3$

$x_2$ $x_1$ $1-x_1$ $x_2$

Kita dapat menganggapnya sebagai binomial bivariat degenerasi (skala):

tetapi sedikit sulit untuk benar-benar menyebut apa yang didefinisikan dalam buku ini binomial bivariat, (karena secara efektif binomial univariat).

Dengan asumsi bahwa seseorang ingin membuat plot yang mirip dengan plot 3D, kode (R) kecil ini cukup dekat dengan plot kedua di atas:

y = 0:6
x1 = y/6
x2 = 1-x1
p = dbinom(y,6,.3)
scatterplot3d(x1,x2,p,grid=TRUE, box=FALSE, cex.lab=1.2,
        color=3, cex.main=1.4,pch=21,bg=1,, type="h",angle=120,
        main="degenerate scaled binomial", ylab="x2", xlab="x1", 
        zlab="prob")

(Anda memerlukan scatterplot3dpaket yang berisi fungsi dengan nama yang sama.)

Binomial bivariat "benar" (non-degenerasi) memiliki variasi dalam kedua variabel sekaligus. Berikut adalah contoh dari satu jenis binomial bivariat (tidak independen dalam kasus ini). Saya menggunakan warna berbeda di plot karena terlalu mudah tersesat di hutan "batang".

$X\sim\text{bin}(n_0,p)$ $Y\sim\text{bin}(n_y,p)$ $Z\sim\text{bin}(n_z,p)$ $X_1=X+Y$ $X_2=X+Z$

$X_1$ $X_2$

$n_0$ $n_y$ $n_z$ $=X$ $x_1=x_2$ $x_1+x_2=n$

[1]: Hamdan, MA (1972),
"Ekspansi Kanonik Distribusi Binomial Bivariat dengan Indeks Marginal yang Tidak Sama"
Tinjauan Statistik Internasional , 40 : 3 (Des), hlm. 277-280

— Glen_b -Reinstate Monica
sumber

c o r r (X_{1}, X_{2}) = - 1

$corr(X_1, X_2) = -1$

Glen_b. Terima kasih banyak. Menunjukkan bahwa objek matematika yang saya sajikan (yang telah disajikan kepada saya!) Adalah binomial bivariat (skala) yang merosot sangat membantu! Saya tidak tahu ini sejak awal. Terakhir, permintaan dasar! Apakah mungkin bagi Anda untuk menjadi eksplisit (dengan notasi matematika) tentang bagaimana Anda mendefinisikan binomial bivariat yang benar atau aktual? Itu akan berguna, saya pikir.

— Graeme Walsh

X \sim bin (n_{0}, p)

$X\sim\text{bin}(n_0,p)$

Y \sim bin (n_{y}, p)

$Y\sim\text{bin}(n_y,p)$

Z \sim bin (n_{z}, p)

$Z\sim\text{bin}(n_z,p)$

X_{1} = X + Y

$X_1=X+Y$

X_{2} = X + Z

$X_2=X+Z$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

@ Greme ... Saya berencana untuk menambahkan lebih banyak detail.

— Glen_b -Reinstate Monica

Mathematicasekarang cukup kuat dalam hal-hal seperti itu - ia memiliki solusi dari masalah Anda dalam dokumentasi . Dengan sedikit tambahan saya telah membuat model untuk bermain-main (dengan p = p1 = 0.4untuk presentasi visual yang lebih baik). Begitulah tampilan antarmuka dan bagaimana hal itu dapat dikontrol.

Potongan

Manipulate[
 Grid[{
   {DiscretePlot3D[
     PDF[MultinomialDistribution[n, {p, 1 - p}], {x, y}], {x, 0, 
      n}, {y, 0, n}, PlotLabel -> Row[{"n = ", n}], 
     ExtentSize -> Right],

    DiscretePlot3D[
     CDF[MultinomialDistribution[n, {p, 1 - p}], {x, y}], {x, 0, 
      n}, {y, 0, n}, PlotLabel -> Row[{"n = ", n}], 
     ExtentSize -> Right]}
   }]
 ,
 {{n, 5}, 1, 20, 1, Appearance -> "Labeled"},
 {{p, 0.4}, 0.1, 0.9},
 TrackedSymbols -> True
 ]

Hal utama di sini adalah PDF[MultinomialDistribution[n, {p, 1 - p}], {x, y}], yang merupakan penjelasan sendiri, saya pikir. Multinomialhanya berarti bahwa Anda dapat mengambil banyak distribusi dengan masing pi-masing untuk masing-masing variabel. Bentuk sederhananya adalah BinomialDistribution. Tentu saja, saya bisa membuatnya secara manual, tetapi aturannya adalah jika Anda memiliki fungsi bawaan - Anda harus menggunakannya.

Jika Anda perlu komentar tentang struktur kode, tolong beri tahu saya.

— garej
sumber