Distribusi normal-seperti di atas area yang dibatasi

10

Apakah ada distribusi yang menyerupai distribusi gaussian (normal), tetapi sedemikian rupa sehingga kepadatan probabilitasnya bukan nol hanya di atas segmen yang ditentukan.

Pertanyaan itu muncul ketika saya mencoba memodelkan 'penyebaran peluru' dalam sebuah lingkaran. Distribusi Gaussian bekerja dengan baik, tetapi selalu ada peluang bahwa peluru akan mengenai luar lingkaran. Jadi saya ingin menemukan distribusi yang sangat mirip dengan Gaussian, tetapi dengan properti bahwa probabilitas di luar segmen yang ditentukan (atau lingkaran) adalah nol.

EDIT: Ya, sebenarnya yang saya maksud adalah disk, bukan lingkaran. EDIT: Dan ya, saya hanya perlu distribusi satu dimensi (sepanjang jari-jari disk) yang akan melingkar-simetris (tidak tergantung pada sudut).

distributions normal-distribution modeling

— mbaitoff
sumber

1

Berikut ini adalah pertanyaan yang berkaitan erat (walaupun, mungkin, dengan jawaban yang kurang memuaskan): math.stackexchange.com/questions/62003/…

— kardinal

1

Tampaknya Anda tertarik pada distribusi pada disk (tidak seperti pada lingkaran), meskipun tidak jelas mengapa dalam model Anda peluru yang ditembakkan tidak dapat jatuh di luar disk.

— kardinal

Ini bisa menjadi model untuk distribusi peluru yang benar-benar jatuh pada disk.

— Dason

Dalam model saya, disk mewakili "zona tembak" yang menyusut jika lebih banyak waktu dihabiskan untuk "membidik". Akan sangat menyebalkan bagi pemain game komputer, misalnya, untuk melepaskan tembakannya di luar disk ketika mereka menghabiskan lebih banyak waktu "membidik".

— mbaitoff

2

Saya hanya ingin mengidentifikasi lebih dekat minat Anda yang sebenarnya. Sering kali jauh lebih mudah untuk mengambil sampel dari distribusi daripada bekerja dengannya secara analitik. Misalnya, dalam kasus normal terpotong, ada cara sederhana untuk sampel (yaitu, sampel penolakan) yang tidak memerlukan pengetahuan atau penggunaan sama sekali dari konstanta normalisasi. (Meskipun, skema yang lebih baik mungkin ada tergantung pada kasus spesifik yang dihadapi.)

— kardinal

9

Anda dapat menggunakan distribusi normal terpotong. Ini hanya distribusi normal yang Anda hanya mempertimbangkan interval. Anda perlu mengubah skala untuk memastikan bahwa pdf terintegrasi ke 1. Tapi ini terdengar bagi saya untuk menjadi apa yang Anda cari.

— Alasan
sumber

PDF dari distribusi normal terpotong sangat kompleks. Saya ingin tahu apakah saya hanya "meruncing" DPF dari distribusi normal dengan beberapa jendela yang halus, seperti lancip cosinus, dan skala ulang untuk mendapatkan unit integral?

— mbaitoff

1

@ MBaitoff: Dalam hal pengambilan sampel dari distribusi terpotong pada disk, yang dapat dilakukan cukup mudah dengan penolakan sampel atau metode lain. Jika Anda ingin distribusi berpusat pada titik asal dan simetris sirkuler, maka orang hanya perlu sampel dari distribusi tunggal (katakanlah, pada unit disk) dan kemudian skala ulang dengan tepat.

— kardinal

5

Distribusi VonMises mirip dengan normal, tetapi digunakan dengan data lingkaran dan didefinisikan hanya pada interval lingkaran (0-360 derajat, atau 0-2pi radian).

Distribusi Beta didefinisikan dari 0 hingga 1 (tetapi dapat diskalakan ke interval lain), dengan parameter yang sama itu simetris dan untuk banyak nilai berbentuk lonceng.

— Greg Snow
sumber

1

Ini adalah saran yang bagus, terutama von Mises, tetapi tampaknya OP sebagian besar tertarik pada distribusi pada disk dengan radius tertentu.

— kardinal

1

Dia bisa menggunakan VonMises untuk sudut dan Beta untuk jari-jarinya. Tidak tergantung satu sama lain, atau parameter beta dapat bergantung pada sudut.

— Greg Snow

1

Mungkin saya salah, tetapi tampaknya OP kemungkinan mencari sesuatu yang menghasilkan distribusi fase yang seragam. Von Mises tampaknya diarahkan untuk aplikasi yang terkait dengan sinkronisasi fase. Tampaknya sedikit aneh jika fase peluru lebih cenderung nol, daripada, katakanlah, , kecuali ada bias di lokasi rata-rata relatif terhadap asal. Yang mengatakan, itu adalah fitur bagus bahwa distribusi seragam terkandung dalam kelas von Mises.

π / 2

$\pi/2$

— kardinal

Nah, untuk mendapatkan distribusi seragam dalam lingkaran, distribusi seragam pada sudut ditambah dengan distribusi segitiga untuk jari-jari seharusnya bekerja!

— kjetil b halvorsen

3

Ini adalah pertanyaan lama, tetapi masih relevan untuk pembaca baru. Saya terkejut bahwa tidak ada yang menyebutkan distribusi Raised Cosine .

Dengan mean dan sebarkan parameter ia dibatasi sempurna menjadi dan fungsi kerapatan probabilitasnya (PDF) memiliki kurva berbentuk lonceng juga. $\mu$ $s$ $[\mu - s, \mu + s]$

— plasmacel
sumber

Tetapi apakah itu memiliki versi dua dimensi (di pesawat)?

— kjetil b halvorsen

1

@ kjetilbhalvorsen Saya tidak tahu, tetapi tidak ada jawaban di sini yang menyajikan solusi multivarian.

— plasmacel

0

+1 untuk jawaban penolakan sampel.

Bisakah Anda juga mengambil sampel dari distribusi Beta di mana (alias ) adalah 1 dan (alias )? Ini didefinisikan pada [0,1], jadi kalikan dengan jari-jari cakram, dan Anda akan memiliki probabilitas nol untuk memilih titik pada jari-jari atau lebih besar. $\alpha$ shape1 $\beta \gt 1$ shape2

Sisi baiknya meliputi: a) ada probabilitas nol untuk memilih jarak yang lebih besar dari atau sama dengan jari-jari, dan b) Anda dapat melakukan pengambilan sampel langsung daripada hal-hal seperti sampel penolakan.

Kelemahannya meliputi: a) itu hampir gelisah mendekati 0 dan b) distribusinya tidak "sangat mirip" dengan Gaussian. (Ini jauh lebih memuncak di dekat 0 - yaitu di tengah - daripada Gaussian, meskipun itu mungkin memang yang diinginkan OP.)

— Wayne
sumber

0

Tampaknya apa yang dicari adalah distribusi seragam pada disk, yang akan saya ambil (bagian dalam) lingkaran unit. Kita dapat menentukan parameter dengan sehingga kita memiliki dan . Kita dapat membiarkan memiliki distribusi seragam, tidak bergantung pada , dan harus menemukan distribusi yang memberikan distribusi seragam pada lingkaran. Karena probabilitas harus proporsional dengan area, kita memiliki yang dan mengambil , memberi $(r,\theta)$ $0 \le r \le 1$ $0 \le \theta \le 2\pi$ $\theta$ $R$ $R$ $0 \le a \le b \le 1$

P (a \leq R \leq b) \propto π b^{2} - π a^{2}

$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(a\le R \le b) \propto \pi b^2 - \pi a^2$

a = 0

$a=0$

b = 1

$b=1$

F_{R} (r) = r^{2}

$F_R(r)= r^2$ . Maka densitasnya adalah turunan . Densitas gabungan dan kemudian menjadi Ini mudah untuk disimulasikan dari, jumlah dua independen seragam memiliki distribusi segitiga (dan simetris), kadang-kadang digambarkan sebagai distribusi "tenda". Kami hanya ingin bagian kiri tenda, yang bisa kami dapatkan dengan mencerminkan distribusi dalam garis vertikal di bagian atas (mode) tenda. Mensimulasikan ini dalam R memberikan:

f_{R} (r) = 2 r

$f_R(r)=2r$

R

$R$

θ

$\theta$

f (r, θ) = \frac{1}{2 π} \cdot 2 r = \frac{r}{π}

$f(r,\theta)=\frac1{2\pi}\cdot 2r = \frac{r}{\pi}$

Kode R untuk simulasi adalah:

set.seed(7*11*13)
rleft_tri  <-  function(n) {
    T  <-  runif(n)+runif(n)
    val  <-  ifelse(T <= 1,T, 2-T)
    val
}

rdisk  <-  function(n)  {
    val  <-  cbind(  rleft_tri(n),  2*pi*runif(n) )
    colnames(val)  <-  c("R","Theta")
    val
    }

#

library(plotrix)
par(bg="antiquewhite")
points  <- rdisk(10000)         plot(c(-1,1),c(-1,1),type="n",axes=FALSE,xlab="",ylab="",xlim=c(-1.1,1.1),ylim=c(-1.1,1.1))
    draw.circle(x=c(0,0),y=c(0,0),radius=1,col="aquamarine")
    points(with(as.data.frame(points),cbind(R*cos(Theta), R*sin(Theta))),pch=".",col="red",cex=2)

Perhatikan bahwa ini adalah kasus khusus dari jawaban lama @Greg Snow, karena distribusi "tenda kiri" adalah distribusi beta dengan parameter . Tetapi kode di atas untuk mensimulasikannya mungkin lebih cepat daripada kode umum untuk mensimulasikan dari beta (atau akan jadi jika diprogram dalam C). $a=2, b=1$

— kjetil b halvorsen
sumber