Distribusi polinomial derajat kedua dari variabel acak Gaussian

Saya ingin menghitung

P (Y = a X^{2} + b X + c < 0)

$P(Y=aX^2+bX+c<0)$

di mana . Saya bisa melakukannya dengan mudah menggunakan Monte Carlo. Namun, saya telah diminta untuk menemukan analitik dari dan kemudian menghitung $X \sim N(0,\sigma)$ $f_Y(y)$ $Y$

I = \int_{- \infty}^{0} f_{Y} (y) d y

$I=\int_{-\infty}^0 f_Y(y) dy$

Saya kira akan sedemikian rupa sehingga hanya dapat dihitung secara numerik. Namun, karena ini merupakan integral univariat, metode numerik tersedia untuk menghitungnya dengan akurasi yang sangat tinggi. Apakah ada ekspresi (relatif sederhana) untuk , sehingga saya dapat melakukan integrasi numerik? Atau apakah ada kemungkinan lain untuk menghitung , selain dari Monte Carlo (yang menurut saya pendekatan yang paling masuk akal)? $f_Y(y)$ $I$ $f_Y(y)$ $I$

— DeltaIV
sumber

Apakah Anda harus menemukan pdf terlebih dahulu dan kemudian mengintegrasikannya ke garis real negatif, atau dapatkah Anda menggunakan metode yang ditunjukkan oleh mpiktas yang menghindari menemukan pdf ?

Y

$Y$

Y

$Y$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate, terima kasih atas pertanyaannya. Saya secara khusus diminta untuk 1. menemukan dan 2. mengintegrasikan lebih dari . Jadi, jawaban yang benar-benar bagus. Di sisi lain, saya dapat menunjukkan bahwa permintaan tersebut tidak masuk akal dan saya sudah memiliki dua metode yang sangat bagus (MC dan @mpiktas) yang berfungsi dengan baik. Dengan demikian, jawaban atas pertanyaan Anda adalah: Saya tidak harus (saya tidak dipecat jika tidak melakukannya), tetapi saya sangat menghargai dapat melakukannya (sehingga menghindari diskusi lain dengan pemohon) .

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

[- \infty, 0]

$[-\infty,0]$

— DeltaIV

Baiklah begini. Perhatikan bahwa yang dapat diekspresikan dalam istilah standar Gaussian CDF menggunakan metode yang dijelaskan dalam jawaban @ mpkitas. Mengambil wrt derivatif, maka akan memberikan pdf . Juga, beri tahu pemohon Anda bahwa Anda sebenarnya tidak perlu untuk secara eksplisit mengintegrasikan pdf untuk menemukan sejak yang nilainya telah Anda tentukan.

F_{Y} (y) = P {Y \leq y} = P {a X^{2} + b X + c - y \leq 0}

$F_Y(y) = P\{Y \leq y\} = P\{aX^2+bX+c-y \leq 0\}$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

I

$I$

I = F_{Y} (0)

$I = F_Y(0)$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate fantastis! Dengan kata lain, dan dalam jawaban mpkitas menjadi fungsi , dan kemudian saya hanya menerapkan aturan rantai untuk derivasi. Terima kasih banyak!

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

y

$y$

— DeltaIV

Perhatikan bahwa , di mana dan adalah akar dari polinomial . Kita harus mengasumsikan bahwa dan adalah nyata dan tidak sama, jika tidak, probabilitas yang dimaksud adalah nol atau satu. $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ $x_1$ $x_2$ $ax^2+bx+c$ $x_1$ $x_2$

Kami punya dua kasus.

$a>0$ , lalu . $P(aX^2+bX+c<0) = P(x_1<X<x_2)$
$a<0$ , lalu $P(aX^2+bX+c<0) = P(X<x_1 \cup X>x_2)=1- P(x_1<X<x_2).$

Karena adalah normal, probabilitas dapat dihitung menggunakan fungsi distribusi kumulatif dari variabel normal. $X$

— mpiktas
sumber

luar biasa! Dan tentu saja kami memiliki ekspresi analitik untuk dan (akar persamaan kuadrat), jadi semuanya sangat sederhana. Terima kasih! PS tentu saja dan selalu nyata dan berbeda dalam kasus saya. Saya lupa menentukannya.

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

— DeltaIV

Solusi yang sangat pintar. Saya akan menyarankan untuk menurunkan distribusi tetapi sama sekali tidak perlu. Sudah selesai dilakukan dengan baik!

Y

$Y$

— ramhiser

@ JohnA.Ramey Lihat komentar di pertanyaan utama.

— Dilip Sarwate