Apa perbedaan antara ketidakberpihakan asimtotik dan konsistensi?

Apakah masing-masing menyiratkan yang lain? Jika tidak, apakah yang satu menyiratkan yang lain? Kenapa / mengapa tidak?

Masalah ini muncul sebagai tanggapan atas komentar pada jawaban yang saya posting di sini .

Meskipun google mencari istilah yang relevan tidak menghasilkan apa pun yang tampak sangat berguna, saya memang melihat jawaban pada pertukaran matematika. Namun, saya pikir pertanyaan ini juga cocok untuk situs ini.

Sunting setelah membaca komentar

Sehubungan dengan jawaban math.stackexchange, saya mencari sesuatu yang lebih mendalam, mencakup beberapa masalah yang dibahas dalam utas komentar @whuber ditautkan . Juga, seperti yang saya lihat, pertanyaan math.stackexchange menunjukkan bahwa konsistensi tidak menyiratkan ketidakberpihakan asimtotik tetapi tidak menjelaskan banyak jika ada alasan mengapa. OP di sana juga menerima begitu saja bahwa ketidakberpihakan asimptotik tidak menyiratkan konsistensi, dan dengan demikian satu-satunya penjawab sejauh ini tidak membahas mengapa hal ini.

— user1205901 - Pasang kembali Monica
sumber

Diskusi obrolan yang relevan mulai dari sini.

— Stephan Kolassa

Konsep yang terkait dengan pertanyaan ini dibahas secara luas dalam komentar berikut stats.stackexchange.com/a/31038/919 .

— whuber

Dan utas tindak lanjut untuk diskusi yang ditautkan oleh @whuber ada di sini: stats.stackexchange.com/questions/120584 .

— Amuba mengatakan Reinstate Monica

Dalam posting terkait di math.se , penjawab menganggap bahwa definisi untuk asimptotik adalah . $\lim_{n\to \infty} E(\hat \theta_n-\theta) = 0$

Secara intuitif, saya tidak setuju: "ketidakberpihakan" adalah istilah yang pertama kali kita pelajari dalam kaitannya dengan distribusi (sampel terbatas). Tampaknya lebih alami untuk mempertimbangkan "ketidakberpihakan asimptotik" dalam hubungannya dengan distribusi asimptotik . Dan faktanya, inilah yang dilakukan oleh Lehmann & Casella dalam "Theory of Point Estimation (1998, 2nd ed) , hlm. 438 Definisi 2.1 (notasi yang disederhanakan):

$If k_{n} ({\hat{θ}}_{n} - θ) \to_{d} H$ $\text{If} \;\;\;k_n(\hat \theta_n - \theta )\to_d H$
untuk beberapa urutan dan untuk beberapa variabel acak , penaksir tidak asimtotik jika nilai yang diharapkan dari adalah nol. $k_n$ $H$ $\hat \theta_n$ $H$

Dengan definisi ini, kita dapat berargumen bahwa konsistensi menyiratkan ketidakberpihakan asimptotik sejak itu

{\hat{θ}}_{n} \to_{p} θ ⟹ {\hat{θ}}_{n} - θ \to_{p} 0 ⟹ {\hat{θ}}_{n} - θ \to_{d} 0

$\hat \theta_n \to_{p}\theta \implies \hat \theta_n - \theta \to_{p}0 \implies \hat \theta_n - \theta \to_{d}0$

... dan distribusi degenerasi yang sama dengan nol memiliki nilai yang diharapkan sama dengan nol (di sini urutan adalah urutan yang). $k_n$

Tetapi saya menduga bahwa ini tidak benar-benar berguna, itu hanya produk sampingan dari definisi ketidakberpihakan asimptotik yang memungkinkan untuk merosotnya variabel acak. Pada dasarnya kami ingin tahu apakah, jika kami memiliki ekspresi yang melibatkan penduga yang konvergen ke non-degenrate rv, konsistensi masih akan menyiratkan ketidakberpihakan asimptotik.

Sebelumnya dalam buku ini (p. 431 Definisi 1.2), penulis menyebut properti sebagai " dalam batas ", dan itu tidak bertepatan dengan ketidakberpihakan asimptotik. $\lim_{n\to \infty} E(\hat \theta_n-\theta) = 0$

Ketidaksesuaian dalam batas sudah cukup (tetapi tidak perlu) untuk konsistensi dalam kondisi tambahan bahwa urutan varians penaksir menjadi nol (menyiratkan bahwa varians ada di tempat pertama).

Untuk seluk-beluk yang berkaitan dengan konsistensi dengan varian non-nol (agak membingungkan), kunjungi posting ini .

— Alecos Papadopoulos
sumber

Apakah saya mengerti benar bahwa dalam definisi diperbolehkan menjadi variabel acak (yaitu, untuk beberapa urutan dan beberapa dll)? Jika demikian, mungkin ini bisa disebutkan

H

$H$

k_{n}

$k_n$

H

$H$

— Juho Kokkala

Sangat disayangkan bahwa jawaban ini hanya memberanikan "Ketidakcocokan dalam batas sudah cukup" dan tidak juga "di bawah kondisi tambahan bahwa urutan varian penaksir menjadi nol". Mudah disesatkan di sini, karena syarat tambahan itu penting untuk "kecukupan" ini.

— Daegan