Harapan

10

Biarkan $X_1$ , $X_2$ , $\cdots$ , $X_d \sim \mathcal{N}(0, 1)$ dan menjadi independen. Apa harapan $\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}$ ?

Mudah untuk menemukan $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}\right) = \frac{1}{d}$ oleh simetri. Tapi saya tidak tahu bagaimana menemukan harapan $\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}$ . Bisakah Anda memberikan beberapa petunjuk?

Apa yang saya dapatkan sejauh ini

Saya ingin menemukan $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ dengan simetri. Tetapi kasus ini berbeda dari itu untuk $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}\right)$ karena $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ mungkin tidak sama dengan $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ . Jadi saya butuh ide lain untuk menemukan harapan.

Dari mana pertanyaan ini berasal

$\|Ax\|_2^2$ $x$ $S^{d-1}$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ $i \neq j$

\sum_{i \neq j} E (\frac{X_{i}^{2} X_{j}^{2}}{(X_{1}^{2} + \dots + X_{d}^{2})^{2}}) + \sum_{i} E (\frac{X_{i}^{4}}{(X_{1}^{2} + \dots + X_{d}^{2})^{2}}) = 1

$\sum_{i \neq j}\mathbb{E} \left( \frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) + \sum_i \mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) = 1$

E (\frac{X_{1}^{4}}{(X_{1}^{2} + \dots + X_{d}^{2})^{2}})

$\mathbb{E}\left(\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ untuk mendapatkan harapan lain.

— Michael Hardy
sumber

7

Distribusi adalah chi-square (dan juga kasus khusus gamma). $X_i^2$

Distribusi dengan demikian adalah beta. $\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}$

Ekspektasi kuadrat beta tidak sulit.

— Glen_b -Reinstate Monica
sumber

5

Jawaban ini memperluas jawaban @ Glen_b.

Fakta 1: Jika , , , adalah variabel acak distribusi normal standar independen, maka jumlah kuadratnya memiliki distribusi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan. Dengan kata lain, $X_1$ $X_2$ $\cdots$ $X_n$ $n$
$X_{1}^{2} + \dots + X_{n}^{2} \sim χ^{2} (n)$ $X_1^2 + \cdots + X_n^2 \sim \chi^2(n)$

Karena itu, dan . $X_1^2 \sim \chi^2(1)$ $X_2^2 + \cdots + X_d^2 \sim \chi^2(d-1)$

Fakta 2: Jika dan , maka $X \sim \chi^2(\lambda_1)$ $Y \sim \chi^2(\lambda_2)$
$\frac{X}{X + Y} \sim beta (\frac{λ_{1}}{2}, \frac{λ_{2}}{2})$ $\frac{X}{X + Y} \sim \texttt{beta}(\frac{\lambda_1}{2}, \frac{\lambda_2}{2})$

Karenanya, . $Y = \frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2} \sim \texttt{beta}(\frac{1}{2}, \frac{d-1}{2})$

Fakta 3: Jika , maka dan $X \sim \texttt{beta}(\alpha, \beta)$
$E (X) = \frac{α}{α + β}$ $\mathbb{E}(X) = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}$ $V a r (X) = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)}$ $\mathbb{Var}(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha + \beta)^2(\alpha + \beta + 1)}$

Karena itu, dan

E (Y) = \frac{1}{d}

$\mathbb{E}(Y) = \frac{1}{d}$

V a r (Y) = \frac{2 (d - 1)}{d^{2} (d + 2)}

$\mathbb{Var}(Y) = \frac{2(d-1)}{d^2(d+2)}$

Akhirnya,

E (Y^{2}) = V a r (Y) + E (Y)^{2} = \frac{3 d}{d^{2} (d + 2)} .

$\mathbb{E}(Y^2) = \mathbb{Var}(Y) + \mathbb{E}(Y)^2 = \frac{3d}{d^2(d+2)}.$

— pengguna603
sumber

1

@ NP-hard: Tampaknya Anda sebenarnya menanyakan pertanyaan ini agar dapat menjawab pertanyaan ini ? Mengapa tidak menyebutkannya saja?

— joriki

@ joriki Terima kasih. Saya akan menambahkan tautan ke pertanyaan.