Bagaimana cara menentukan Wilayah Penolakan ketika tidak ada UMP?

Pertimbangkan model regresi linier

, $\mathbf{y}=\mathbf{X\beta}+\mathbf{u}$

, $\mathbf{u}\sim N(\mathbf{0},\sigma^2\mathbf{I})$

. $E(\mathbf{u}\mid\mathbf{X})=\mathbf{0}$

Biarkan vs . $H_0: \sigma_0^2=\sigma^2$ $H_1: \sigma_0^2\neq\sigma^2$

Kita dapat menyimpulkan bahwa , di mana. Danadalah notasi khas untuk matriks anihilator-, , di mana adalah variabel dependenkemunduran pada. $\frac{\mathbf{y}^T\mathbf{M_X}\mathbf{y}}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-k)$ $dim(\mathbf{X})=n\times k$ $\mathbf{M_X}$ $\mathbf{M_X}\mathbf{y}=\hat{\mathbf{y}}$ $\hat{\mathbf{y}}$ $\mathbf{y}$ $\mathbf{X}$

Buku yang saya baca menyatakan sebagai berikut:

Saya sebelumnya telah bertanya kriteria apa yang harus digunakan untuk mendefinisikan Wilayah Penolakan (RR), melihat jawaban untuk pertanyaan ini , dan yang utama adalah memilih RR yang membuat tes sekuat mungkin.

Dalam hal ini, dengan alternatif sebagai hipotesis komposit bilateral biasanya tidak ada tes UMP. Juga, dengan jawaban yang diberikan dalam buku ini, penulis tidak menunjukkan jika mereka melakukan studi tentang kekuatan RR mereka. Meskipun demikian, mereka memilih RR dua sisi. Mengapa demikian, karena hipotesis tidak secara 'sepihak' menentukan RR?

Sunting: Gambar ini ada dalam manual solusi buku ini sebagai solusi untuk latihan 4.14.

— Seorang lelaki tua di laut.
sumber

Silakan tambahkan referensi ke buku. Terkait: Nilai-P dalam uji dua-ekor dengan distribusi nol asimetris .

— Scortchi

@Scortchi terima kasih atas tautannya. Bisakah saya menanyakan sesuatu tentang pertanyaan ini kepada Anda? Apakah menurut Anda itu menarik? Saya mencoba menilai apakah saya membuat pertanyaan menarik, atau apakah saya harus mengarahkan minat saya ke daerah lain ...

— Seorang lelaki tua di laut.

Tentu saja tidak semua orang menganggap teori itu menarik, tetapi beberapa orang melakukannya (termasuk saya) & kami sudah hampir ditandai 2 kmathematical-statistics . Jadi, q yang bagus. IMO. Ini agak luas tetapi saya pikir jawaban yang baik akan mensurvei berbagai pendekatan & pertimbangan, & contoh yang memotivasi sangat membantu. (Saya telah memilih contoh sesederhana mungkin - tes tentang varians dari distribusi normal dengan rata-rata yang diketahui, atau rata-rata dari distribusi eksponensial.) [BTW Saya sering lupa untuk memilih qs ketika saya berkomentar tentang mereka .]

— Scortchi

@Scortchi terima kasih atas tanggapan Anda. Terkadang saya tidak yakin apakah saya menyusun pertanyaan dengan baik, karena saya sendiri yang mempelajari ini.

— Seorang pria tua di laut.

Anda harus mendefinisikan

M_{X}

$M_X$

— Taylor

Jawaban:

$T=\sum z^2$ $z$ $\sigma^2_0$ $n$

$\sigma=\sigma_1$ $\sigma=\sigma_2$ $T$ $\sigma_2 > \sigma_1$

$ℓ (σ_{2}; T, n) - ℓ (σ_{1}; T, n) = \frac{n}{2} \cdot [\log (\frac{σ_{1}^{2}}{σ_{2}^{2}}) + \frac{T}{n} \cdot (\frac{1}{σ_{1}^{2}} - \frac{1}{σ_{2}^{2}})]$ $\ell(\sigma_2;T,n)-\ell(\sigma_1;T,n)=\frac{n}{2} \cdot \left[\log \left(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\right) + \frac{T}{n} \cdot \left(\frac{1}{\sigma_1^2} - \frac{1}{\sigma_2^2}\right) \right]$ $T$ $\sigma_2>\sigma_1$

$H_0:\sigma=\sigma_0$ $H_\mathrm{A}:\sigma < \sigma_0$ $H_0:\sigma = \sigma_0$ $H_\mathrm{A}:\sigma < \sigma_0$ $H_0:\sigma = \sigma_0$ $H_\mathrm{A}:\sigma \neq \sigma_0$ $\sigma>\sigma_0$ $\sigma<\sigma_0$

$\sigma=\hat\sigma$ $\sigma$ $\sigma=\sigma_0$

$\hat\sigma^2=\frac{T}{n}$
$ℓ (\hat{σ}; T, n) - ℓ (σ_{0}; T, n) = \frac{n}{2} \cdot [\log (\frac{n σ_{0}^{2}}{T}) + \frac{T}{n σ_{0}^{2}} - 1]$ $\ell(\hat\sigma;T,n)-\ell(\sigma_0;T,n)=\frac{n}{2} \cdot \left[\log \left(\frac{n\sigma_0^2}{T}\right) + \frac{T}{n\sigma_0^2} - 1 \right]$

$H_\mathrm{A}:\sigma \neq \sigma_0$ $H_0:\sigma = \sigma_0$ $T$

$\sigma$

$\frac{d ℓ (σ; T, n)}{d σ} = \frac{T}{σ^{3}} - \frac{n}{σ}$ $\frac{\mathrm{d}\,\ell(\sigma;T,n)}{\mathrm{d}\,\sigma}=\frac{T}{\sigma^3} - \frac{n}{\sigma}$

$\sigma_0$ $H_0:\sigma=\sigma_0$ $H_\mathrm{A}:\sigma \neq \sigma_0$

$\alpha$ $\phi(T)= 1$ $T<c_1$ $T>c_2$ $\phi(T)= 0$

\begin{aligned} E (ϕ (T)) & = α \\ E (T ϕ (T)) & = α E T \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{E}(\phi(T)) &= \alpha \\ \operatorname{E}(T\phi(T)) &= \alpha \operatorname{E} T \end{align}$

Plot membantu menunjukkan bias dalam pengujian sama-ekor-area & bagaimana itu muncul:

$\sigma$ $\sigma_0$

Menjadi tidak memihak itu baik; tapi itu tidak jelas bahwa memiliki kekuatan sedikit lebih rendah dari ukuran di wilayah kecil ruang parameter dalam alternatif sangat buruk untuk mengesampingkan pengujian sama sekali.

Dua dari tes dua sisi di atas bertepatan (untuk kasus ini, tidak secara umum):

LRT adalah UMP di antara tes yang tidak bias. Dalam kasus di mana ini tidak benar, LRT mungkin masih tidak memihak asimptot.

Saya pikir semua, bahkan tes satu-ekor, dapat diterima, yaitu tidak ada tes yang lebih kuat atau sekuat di bawah semua alternatif — Anda dapat membuat tes lebih kuat terhadap alternatif dalam satu arah hanya dengan membuatnya kurang kuat terhadap alternatif di sisi lain. arah. Ketika ukuran sampel meningkat, distribusi chi-squared menjadi lebih & lebih simetris, & semua tes dua-ekor akan berakhir sama (alasan lain untuk menggunakan uji ekor sama mudah).

Dengan hipotesis nol gabungan, argumen menjadi sedikit lebih rumit, tapi saya pikir Anda bisa mendapatkan hasil yang sama, mutatis mutandis. Perhatikan bahwa satu tetapi tidak yang lain dari tes satu sisi adalah UMP!

— Scortchi - Reinstate Monica
sumber

Scortchi terima kasih atas jawaban Anda. Tapi saya masih ragu. Pertama, dapatkah Anda menjelaskan lebih lanjut tentang kalimat berikut? «Menerapkan koreksi multi-perbandingan yang mengarah ke tes yang biasa digunakan dengan wilayah penolakan berukuran sama di kedua sisi, & cukup masuk akal ketika Anda akan mengklaim bahwa σ> σ0 atau σ <σ0 saat Anda menolak nol." Juga mengapa Anda mengatakan itu masuk akal? Saya pikir ini adalah inti dari pertanyaan saya jika saya tidak salah. ;)

— Seorang lelaki tua di laut.

Saya membaca paragraf ini dari jawaban yang Anda tautkan, tetapi saya tidak memahaminya dengan baik «Menggandakan nilai p satu ekor terendah dapat dilihat sebagai koreksi perbandingan banyak untuk melakukan dua pengujian satu sisi.» Saya akan berterima kasih jika Anda bisa menjelaskannya sedikit lagi. ;)

— Seorang lelaki tua di laut.

α / 2

$\alpha/2$

α

$\alpha$

α

$\alpha$

Dalam hal ini, dengan alternatif sebagai hipotesis komposit bilateral biasanya tidak ada tes UMP.

Saya tidak yakin apakah itu benar secara umum. Tentu saja, banyak hasil klasik (Neymon-Pearson, Karlin-Rubin) didasarkan pada hipotesis sederhana atau satu sisi, tetapi generalisasi untuk hipotesis komposit dua sisi memang ada. Anda dapat menemukan beberapa catatan tentang itu di sini , dan diskusi lebih lanjut di buku teks di sini .

Khusus untuk masalah Anda, saya tidak tahu apakah ada tes UMP atau tidak. Tetapi secara intuitif, tampaknya bahwa di bawah kehilangan 0-1, tes satu sisi mungkin tidak dapat diterima, dan dengan demikian kelas uji yang diterima adalah semua tes dua sisi. Berikan kelas dua tes sisi, tujuannya adalah untuk menemukan satu dengan kekuatan terbesar, yang secara otomatis akan terjadi dengan memilih kuantil di sekitar satu mode dari $\chi^2$

— Greenparker
sumber

σ_{0}

$\sigma_0$