Bagaimana kita bisa mendapatkan distribusi normal sebagai

Katakanlah kita memiliki variabel acak dengan rentang nilai yang dibatasi oleh dan b , di mana a adalah nilai minimum dan b nilai maksimum.$a$$b$$a$$b$

Saya diberitahu bahwa sebagai , di mana n adalah ukuran sampel kami, distribusi sampling berarti sampel kami adalah distribusi normal. Artinya, seperti yang kita meningkatkan n kita lebih dekat dan lebih dekat dengan distribusi normal, tetapi batas yang sebenarnya sebagai n → ∞ adalah sama untuk distribusi normal.$n \to \infty$$n$$n$$n \to \infty$

Namun, bukankah bagian dari definisi distribusi normal yang harus diperluas dari ke ∞ ?$- \infty$$\infty$

Jika maks kisaran kami adalah , maka rata-rata sampel maksimum (terlepas dari ukuran sampel) akan sama dengan b , dan rata-rata sampel minimum sama dengan a .$b$$b$$a$

Jadi sepertinya bagi saya bahwa bahkan jika kita mengambil batas ketika mendekati tak terhingga, distribusi kita bukanlah distribusi normal yang sebenarnya, karena dibatasi oleh a dan b .$n$$a$$b$

Apa yang saya lewatkan ?

Inilah yang Anda lewatkan. Distribusi asimptotik bukan dari (mean sampel), tetapi dari $\bar{X}_n$, di manaθadalah mean dariX.$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta)$$\theta$$X$

Misalkan menjadi iid variabel acak sedemikian sehingga a < X i < b dan X i memiliki mean θ dan varians σ 2 . Dengan demikian X i telah terikat dukungan. CLT mengatakan bahwa $X_1, X_2, \dots$$a < X_i <b$$X_i$$\theta$$\sigma^2$$X_i$

$$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) \overset{d}{\to} N(0, \sigma^2),$$

di mana adalah mean sampel. Sekarang$\bar{X}_n$

$$\begin{align*} a < &X_i <b\\ a < & \bar{X}_n <b\\ a-\theta < &\bar{X}_n - \theta < b - \theta\\ \sqrt{n}(a - \theta) < & \sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) < \sqrt{n}(b - \theta).\\ \end{align*}$$

Seperti , batas bawah dan batas atas cenderung masing-masing - ∞ dan ∞ , dan dengan demikian sebagai n → ∞ dukungan $n \to \infty$$-\infty$$\infty$$n \to \infty$adalah persis seluruh garis nyata.$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta)$

Setiap kali kita menggunakan CLT dalam praktiknya, kita katakan , dan ini akan selalu menjadi perkiraan.$\bar{X}_n \approx N(\theta, \sigma^2/n)$

---

EDIT: Saya pikir bagian dari kebingungan adalah dari salah tafsir dari Central Limit Theorem. Anda benar bahwa distribusi sampling dari mean sampel adalah

$$\bar{X}_n \approx N(\theta, \sigma^2/n).$$

Namun, distribusi sampling adalah properti sampel hingga. Seperti yang Anda katakan, kami ingin membiarkan ; setelah kami melakukannya tanda ≈ akan menjadi hasil yang tepat. Namun, jika kita membiarkan n → ∞ , kita tidak dapat lagi memiliki n di sisi kanan (karena n sekarang ∞ ). Jadi pernyataan berikut ini salah ˉ X n d → N ( θ , σ 2 / n )  sebagai  n → ∞ $n \to \infty$$\approx$$n \to \infty$$n$$n$$\infty$

$$\bar{X}_n \overset{d}{\to} N(\theta, \sigma^2/n) \text{ as } n \to \infty.$$

$\overset{d}{\to}$$n$

$$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) \overset{d}{\to} N(0, \sigma^2)$$

Untuk melihat bagaimana aljabar bekerja, lihat jawabannya di sini .

Jika Anda merujuk pada teorema batas pusat, perhatikan bahwa salah satu cara yang tepat untuk menuliskannya adalah

$\left( \frac{\bar x - \mu} {\sigma} \right) \sqrt n \rightarrow_d N(0,1)$

$\mu, \sigma$$x_i$

$n$

$n$$n$$n$

$X_i \sim \text{Bern}(p = 0.5)$

$\bar X \dot \sim N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)$

$n$

$P\left(N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right) < 0\right) >0$

$n \rightarrow \infty$

$P\left(N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right) < 0\right) \rightarrow 0$

Sehingga ketidaksesuaian antara distribusi aktual dan distribusi perkiraan yang menghilang, seperti yang seharusnya terjadi dengan perkiraan.