Nilai yang diharapkan vs. nilai yang paling mungkin (mode)

15

Nilai yang diharapkan dari distribusi adalah rata-rata, yaitu nilai rata-rata tertimbang $f(x)$

E [x] = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x

$E[x]=\int_{-\infty}^{+\infty} x \, \, f(x) dx$

Nilai yang paling mungkin adalah mode, itu adalah nilai yang paling mungkin.

Namun apakah kita berharap untuk melihat berkali-kali? Mengutip dari sini : $E[x]$

Jika hasil kemungkinan tidak sama, maka rata-rata sederhana harus diganti dengan rata-rata tertimbang, yang mempertimbangkan fakta bahwa beberapa hasil lebih mungkin daripada yang lain. Intuisi tetap sama: nilai yang diharapkan dari adalah apa yang diharapkan terjadi secara rata-rata . $x_i$ $x$

Saya tidak dapat mengerti apa yang dimaksud dengan "rata-rata terjadi", apakah ini berarti bahwa, pada awalnya, mengambil ukuran banyak waktu yang saya harapkan untuk melihat lebih dari nilai ? Tapi bukankah ini definisi mode? $E[x]$ $x$

Lantas bagaimana cara menafsirkan pernyataan itu? Dan apa arti probabilitas dari ? $E[x]$

Saya juga ingin menunjukkan contoh di mana saya bingung. Mempelajari distribusi Saya belajar bahwa modenya adalah , sedangkan , di mana $\chi^2$ $\chi^2_{mode}=\nu-2$ $E[\chi^2]=\nu$ $\nu$ adalah derajat kebebasan data.

Saya mendengar di universitas bahwa, ketika melakukan tes setelah menggunakan Metode Least Squares agar sesuai dengan satu set data, saya harus berharap untuk mendapatkan karena "itulah yang terjadi secara umum". $\chi^2$ $\chi^2 \approx \nu$

Apakah saya salah paham semua ini atau apakah nilai yang diharapkan sangat mungkin terjadi? (Bahkan jika nilai yang paling memungkinkan tentu saja mode)

— Sørën
sumber

4

Saya sangat suka kekuatan metafora tiket-dalam-kotak- untuk pertanyaan ini, karena menghasilkan jawaban yang sederhana, jelas,: harapan dari variabel acak adalah jumlah nilai-nilainya (seperti yang digambarkan pada tiket) dibagi dengan hitungan tiket. Itu dia. Pernyataan apa pun yang tidak mengikuti dari definisi ini (atau yang setara dengan matematika canggihnya) hanyalah heuristik dan mungkin sangat tidak benar dalam beberapa keadaan.

— whuber

18

Untuk distribusi normal, nilai yang diharapkan, alias rata-rata, sama dengan mode.

Secara umum, tidak hanya nilai yang diharapkan tidak hanya bukan yang paling mungkin (atau pada kepadatan tertinggi), tetapi mungkin tidak memiliki peluang untuk terjadi. Misalnya, pertimbangkan variabel acak X yang sama dengan 0 atau 2, masing-masing dengan probabilitas 0,5. Kemudian EX = 1, tetapi nilai yang diharapkan, 1, memiliki probabilitas 0 terjadi, sedangkan 0 dan 2 adalah kedua mode distribusi.

Kutipan "nilai yang diharapkan dari x adalah apa yang diharapkan terjadi secara rata-rata" adalah bahasa awam non-teknis, yang terbukti dengan kebingungan Anda, hanya berfungsi untuk membingungkan masalah. Nilai yang diharapkan memiliki arti probabilitas yang sangat spesifik sebagai rata-rata matematika. Sedangkan dalam bahasa awam, nilai yang diharapkan atau "rata-rata" mungkin sesuatu yang biasanya terjadi. Ini dapat direkonsiliasi jika "rata-rata" ditafsirkan sebagai rata-rata matematika dari apa yang terjadi.

Diharapkan milikmu,

Joe Average

— Mark L. Stone
sumber

1

Meminta pertanyaan: Bagaimana dengan median, yang dijamin mungkin ?

— terang

Seperti yang dikatakan @TrevorAlexander, mode juga tidak memberikan jaminan. Pertimbangkan mode distribusi berkelanjutan.

— Tim

3

P (X \leq m) \geq 1 / 2

$P(X \le m) \ge 1/2$

P (X \geq m) \geq 1 / 2

$P(X \ge m) \ge 1/2$

5

P (X = E (X)) = 0

$P( X = E(X) ) = 0$

X

$X$

Satu-satunya pembenaran untuk nilai yang diharapkan, dan alasan mengapa kita "berharap untuk sering melihatnya", adalah Hukum sejumlah besar :

$n$ $X_i$

\frac{X_{1} + \dots + X_{n}}{n} \to E (X)

$\frac {X_1 + \dots + X_n}{n} \to E(X)$

$\to$

$p> \frac 12$ $1$ $1-p$ $0$

E (X) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1 - p) = p

$E(X) = 1\cdot p + 0\cdot(1-p) = p$

Sekarang jelas "p" tidak akan pernah terjadi (itu kepala atau ekor, 0 atau 1).

$E(X) = p$

— Semut
sumber

Saya tidak akan mengatakan hukum angka besar adalah satu - satunya pembenaran untuk nilai yang diharapkan. Sebagai contoh, en.wikipedia.org/wiki/… adalah pembenaran untuk mempertimbangkan nilai-nilai yang diharapkan dari fungsi utilitas (saya belum mempelajari buktinya tetapi saya terkejut jika itu entah bagaimana didasarkan pada hukum angka besar).

— Juho Kokkala

3

Saya tidak suka istilah "nilai yang diharapkan" dan tidak menggunakannya saat mengajarkan probabilitas. "Rata-rata aritmatika" lebih baik, menurut saya, karena rata-rata aritmatika dari dadu 6 sisi adalah 3,5 tetapi angka seperti itu tidak terjadi. Awalnya saya mendengar istilah "nilai harapan" untuk konsep ketika di perguruan tinggi. Banyak istilah teknis tidak setuju dengan makna non-teknis yang jelas. ("Atau" terlintas dalam pikiran.)

Perhatikan bahwa distribusi mungkin memiliki lebih dari satu mode tetapi rata-rata aritmatika unik. Mode, mean, dan median berbeda dan memiliki kegunaan yang berbeda.

— ttw
sumber

1

Bagus di "atau". Itu membuat saya berpikir tentang program Linear Programming di mana kami mempelajari beberapa Teorema Alternatif. Mereka berbentuk "A benar atau B benar, tetapi tidak keduanya". Jauh lebih mudah untuk mengekspresikannya sebagai A xor B. Saya tidak mendengar banyak penggunaan xor dalam percakapan jalanan biasa.

— Mark L. Stone

2

Perbedaannya paling mudah untuk dilihat dengan distribusi diskrit:

Pertimbangkan dua set nilai di mana masing-masing angka cenderung sama-sama ditarik: {1,2,2,2,10} dan {1,2,2,2,3}.

Keduanya memiliki mode yang sama (2), tetapi nilai yang diharapkan berbeda. Nilai yang diharapkan memberikan bobot ekstra pada nilai besar sementara mode hanya mencari nilai apa yang sering terjadi. Jadi, jika Anda menggambar dari distribusi ini beberapa kali, rata-rata sampel Anda akan mendekati nilai yang diharapkan, sedangkan bilangan bulat yang paling umum terjadi adalah yang dekat dengan mode.

Mode didefinisikan sebagai $mode=arg{\max{f(x)}}$ sementara seperti yang Anda tunjukkan di atas, nilai yang diharapkan terintegrasi $x*f(x)$ jadi itu mempertimbangkan bobot masing-masing x.

Penggunaan bahasa untuk membedakan antara ukuran kecenderungan sentral yang berbeda adalah masalah yang umum ketika mempelajari statistik. Misalnya, median adalah ukuran lain yang tidak condong oleh nilai-nilai besar seperti rata-rata.

— VCG
sumber