Laplace adalah orang pertama yang menyadari perlunya tabulasi, muncul dengan perkiraan:
G ( x )= ∫∞xe- t2dt= 1x- 12 x3+ 1 ⋅ 34 x5- 1 ⋅ 3 ⋅ 58 x7+ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 716 x9+ ⋯(1)
Tabel modern pertama dari distribusi normal kemudian dibangun oleh astronom Perancis Christian Kramp dalam Analyze des Réfractions Astronomiques et Terrestres (Par le citoyen Kramp, Professeur de Chymie dan de Physique expérimentale à l'école centrale du Département de la Roer, 1799) . Dari Tabel Terkait dengan Distribusi Normal: Sejarah Singkat Penulis: Herbert A. David Sumber: The American Statistician, Vol. 59, No. 4 (November, 2005), hlm. 309-311 :
Dengan ambisius, Kramp memberikan tabel delapan desimal ( D) hingga D hingga D hingga dan D hingga bersama dengan perbedaan yang diperlukan untuk interpolasi. Menuliskan enam turunan pertama ia hanya menggunakan ekspansi deret Taylor dari tentang dengan hingga istilah dalamIni memungkinkan dia untuk melanjutkan langkah demi langkah dari ke setelah mengalikan dengan8x = 1,24 , 91,50 , 101,99 ,113,00G ( x ) ,G ( x + h )G ( x ) ,h = .01 ,h3.x = 0x = h , 2 jam , 3 jam , ... ,he- x21 - h x + 13( 2 x2- 1 ) h2- 16( 2 x3- 3 x ) h3.
Jadi, pada produk ini berkurang menjadi
sehingga padax = 00,01 ( 1 - 13× .0001 ) = .00999967 ,
G ( .01 ) = .88622692 - .00999967 = .87622725 .
⋮
Tapi ... seberapa akurat dia? OK, mari kita ambil sebagai contoh:2.97
Luar biasa!
Mari kita beralih ke ekspresi modern Gaussian pdf:
Pdf dari adalah:N( 0 , 1 )
fX( X= x ) = 12 π--√e- x22= 12 π--√e- ( x2√)2= 12 π--√e- ( z)2
di mana . Dan karenanya, .z= x2√x = z× 2-√
Jadi mari kita pergi ke R, dan mencari ... OK, tidak begitu cepat. Pertama-tama kita harus ingat bahwa ketika ada konstanta yang mengalikan eksponen dalam fungsi eksponensial , integral akan dibagi oleh eksponen itu: . Karena kami bertujuan mereplikasi hasil di tabel lama, kami sebenarnya mengalikan nilai dengan , yang harus muncul dalam penyebut.PZ( Z> z= 2.97 )ea x1 / ax2-√
Lebih jauh, Christian Kramp tidak menormalkan, jadi kita harus mengoreksi hasil yang diberikan oleh R yang sesuai, dikalikan dengan . Koreksi akhir akan terlihat seperti ini:2 π--√
2 π--√2-√P (X> x ) = π--√P (X> x )
Dalam kasus di atas, dan . Sekarang mari kita pergi ke R:z= 2.97x = z× 2-√= 4.200214
(R = sqrt(pi) * pnorm(x, lower.tail = F))
[1] 0.00002363235e-05
Fantastis!
Mari kita pergi ke atas meja untuk bersenang-senang, katakan ...0,06
z = 0.06
(x = z * sqrt(2))
(R = sqrt(pi) * pnorm(x, lower.tail = F))
[1] 0.8262988
Bagaimana dengan Kramp? .0.82629882
Sangat dekat ...
Masalahnya adalah ... seberapa dekat, tepatnya? Setelah semua suara diterima, saya tidak bisa membiarkan jawaban yang sebenarnya menggantung. Masalahnya adalah bahwa semua aplikasi pengenalan karakter optik (OCR) yang saya coba sangat tidak aktif - tidak mengherankan jika Anda telah melihat yang asli. Jadi, saya belajar untuk menghargai Christian Kramp atas kegigihan karyanya karena saya secara pribadi mengetik setiap digit di kolom pertama Table Première-nya .
Setelah bantuan berharga dari @Glen_b, sekarang mungkin sangat akurat, dan siap untuk menyalin dan menempel pada konsol R di tautan GitHub ini .
Berikut ini analisis keakuratan perhitungannya. Persiapkan dirimu ...
- Perbedaan kumulatif absolut antara nilai [R] dan perkiraan Kramp:
0,000001200764 - dalam perhitungan, ia berhasil mengakumulasi kesalahan sekitar juta!3011
- Berarti kesalahan absolut (MAE) , atau
mean(abs(difference))
dengandifference = R - kramp
:
0,000000003989249 - dia berhasil membuat kesalahan satu-miliar yang keterlaluan rata-rata!3
Pada entri di mana perhitungannya paling berbeda dibandingkan dengan [R] nilai tempat desimal pertama yang berbeda berada di posisi kedelapan (ratus juta). Rata-rata (median) "kesalahan" pertamanya adalah dalam angka desimal kesepuluh (kesepuluh miliar!). Dan, meskipun ia tidak sepenuhnya setuju dengan [R] dalam hal apa pun, entri terdekat tidak akan menyimpang sampai tiga belas entri digital.
- Berarti perbedaan relatif atau
mean(abs(R - kramp)) / mean(R)
(sama dengan all.equal(R[,2], kramp[,2], tolerance = 0)
):
0,00000002380406
- Root mean squared error (RMSE) atau penyimpangan (memberikan bobot lebih besar untuk kesalahan besar), dihitung sebagai
sqrt(mean(difference^2))
:
0,000000007283493
Jika Anda menemukan gambar atau potret Chistian Kramp, silakan edit posting ini dan letakkan di sini.