Jika saya memiliki nilai yang diharapkan dari logaritma RV, bisakah saya mendapatkan nilai yang diharapkan dari RV itu sendiri?

Asumsikan diberikan, dapatkah saya menurunkan dalam format form tertutup? $\text{E}[\log(X)]$ $\text{E}[X]$

expected-value logarithm

— Theoden
sumber

Apakah Anda tahu distribusi log x atau x? Misalnya. Apakah

didistribusikan secara normal? Dalam kasus paling umum dengan

mengikuti beberapa distribusi sewenang-wenang, Anda tidak akan bisa berkata banyak.

x

$x$

x

$x$

— Matthew Gunn

Tidak. Hanya nilai rata-rata dari log (x) yang diberikan.

— Theoden

Cukup banyak yang dapat Anda katakan adalah bahwa

karena ketidaksetaraan Jensen .

E [\log (x)] \leq \log (E [x])

$\mathrm{E}[\log(x)] \leq \log \left( \mathrm{E}[x] \right)$

— Matthew Gunn

Tidak.

$X$ $\log(X) \sim N(\mu,\sigma)$ $E[\log(x)] = \mu$ $\sigma$ $E[X] = \exp \left(\mu + \frac{\sigma^2}{2} \right)$ $\sigma$ $\sigma$

— jwimberley
sumber

Masuk akal. Saya butuh info lebih lanjut.

— Theoden

Atau untuk contoh super sederhana, pertimbangkan variabel acak diskrit X (mengambil nilai 1 dengan probabilitas 1/3 dan 10 dengan probabilitas 2/3), dan Y (mengambil nilai 1 dengan probabilitas 2/3 dan 100 dengan probabilitas 1/3) . Kemudian E [log X] = E [log Y] = 1/3 (atau nomor lain jika Anda lebih suka logaritma Anda dibawa ke basis yang lebih masuk akal daripada 10, tetapi masih sama karena di setiap log dasar 100 = 2 log 10). Namun E [X]! = E [Y].

— Steve Jessop