Jika , lalu mengapa ?

8

Saya melihat yang berikut dalam buku teks dan saya kesulitan memahami konsepnya. Saya mengerti bahwa didistribusikan secara normal dengan E ( ) = 0 dan Var ( ) = . $X_n$ $X_n$ $X_n$ $\frac{1}{n}$

Namun, saya tidak mengerti mengapa mengalikan dengan akan menjadikannya standar normal. $X_n$ $\sqrt n$

— Luke Hsu
sumber

3

Lihat en.wikipedia.org/wiki/Variance#Basic_properties (khususnya di mana ia mengatakan )

Var (a X) = a^{2} V a r (X)

$\text{Var}(aX) = a^2{Var}(X)$

— Glen_b -Reinstate Monica

Jangan ragu untuk memvalidasi jawaban pilihan Anda

— Laurent Duval

7

Karena varians adalah momen orde kedua , terkait dengan kuadrat, maka faktor menjadi kuadrat.

Lebih tepatnya, karena ekspektasi adalah operasi linier, secara umum, jika Anda memiliki momen order terpusat (milik Anda adalah momen order): $d$ $2$

μ_{d} (X) = E [X^{d}] = \int_{- \infty}^{\infty} x^{d} d F (x)

$\mu_{d}(X)=\operatorname {E} \left[X^{d}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{d}\,dF(x)\,$ mengalikan dengan hasil konstan dalam mendapatkan konstanta di luar integral, dipengaruhi dengan daya (selama integral didefinisikan dengan benar):

X

$X$

d

$d$

μ_{d} (Sebuah X) = {Sebuah}^{d} μ_{d} (X) .

$\mu_{d}(aX) = a^d \mu_{d}(X)\,.$

Jadi jika Anda mengalikan dengan , varians (kekuatan dua momen) dikalikan dengan . $X$ $\sqrt{n}$ $X$ $(\sqrt{n})^2$

Mean adalah momen orde pertama, jadi Anda akan mengalikannya dengan , dan karena untuk , variabel yang dihasilkan masih memiliki rata-rata nol. $\sqrt{n}$ $0$ $X$

— Laurent Duval
sumber

Terima kasih untuk ini! Namun, dalam kasus lain, apakah penggandaan \ sqrt {n} akan mempengaruhi rata-rata?

— Luke Hsu

3

tidak, karena rata-rata adalah 0 untuk memulai dengan (jadi 0 kali sqrt (n) masih nol)

— Ben Bolker

2

Seharusnya $X\sim N(\mu, \sigma^{2})$ . Kemudian,

\begin{array}{rcl} X - μ & \sim & N (0, σ^{2}) \\ \frac{X - μ}{σ} & \sim & N (0, 1) . \end{array}

$\begin{eqnarray*} X-\mu &\sim& N(0, \sigma^{2})\\ \frac{X-\mu}{\sigma}&\sim&N(0,1). \end{eqnarray*}$ Begitu pula jika

X_{1}, X_{2}, \dots X_{n}

$X_{1},X_{2},\cdots X_{n}$ adalah sampel acak dari

N (μ, σ^{2})

$N(\mu,\sigma^{2})$ , maka sampel berarti,

\begin{array}{rcl} \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{saya = 1}^{n} X_{saya} & \sim & N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) \\ \bar{X} - μ & \sim & N (0, \frac{σ^{2}}{n}) \\ \frac{\sqrt{n} (\bar{X} - μ)}{σ} & \sim & N (0, 1) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}&\sim & N\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right)\\ \bar{X}-\mu &\sim& N\left(0,\frac{\sigma^{2}}{n}\right)\\ \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma}&\sim&N(0,1) \end{eqnarray*}$

— LVRao
sumber