Mengapa perubahan log natural adalah perubahan persentase? Bagaimana dengan log yang membuatnya demikian?

43

Dapatkah seseorang menjelaskan bagaimana sifat-sifat log membuatnya sehingga Anda dapat melakukan regresi linier di mana koefisien ditafsirkan sebagai perubahan persentase?

regression logarithm mathematical-statistics

— thethitetie
sumber

9

l o g (y_{t}) - l o g (y_{t - 1}) = l o g (y_{t} / y_{t - 1})

$log(y_t) -log(y_{t-1})=log(y_t/y_{t-1})$ , dan adalah 1 ditambah persentase perubahan.

y_{t} / y_{t - 1}

$y_t/y_{t-1}$

Membedakan persamaan relatif terhadap X1 Saya pikir menempatkan kita pada jalur dalam menjawab pertanyaan lebih baik daripada mempertimbangkan ekspresi rangkaian.

— Charles

45

Untuk dan berdekatan, persentase perubahan mendekati perbedaan . $x_2$ $x_1$ $\frac{x_2-x_1}{x_1}$ $\log x_2 - \log x_1$

Mengapa perubahan persen mendekati perbedaan log?

Gagasan dari kalkulus adalah Anda dapat memperkirakan fungsi yang lancar dengan sebuah garis. Perkiraan linier hanyalah dua istilah pertama dari Seri Taylor . Urutan pertama Taylor Expansion of sekitar diberikan oleh: $\log(x)$ $x=1$

\log (x) \approx \log (1) + \frac{d}{d x} {\log (x) |}_{x = 1} (x - 1)

$\log(x) \approx \log(1) + \frac{d}{dx} \left. \log (x) \right|_{x=1} \left( x - 1 \right)$ Sisi kanan disederhanakan menjadi maka:

0 + \frac{1}{1} (x - 1)

$0 + \frac{1}{1}\left( x - 1\right)$

\log (x) \approx x - 1

$\log(x) \approx x-1$

Jadi untuk di lingkungan 1, kita dapat memperkirakan dengan garis Di bawah ini adalah grafik dari dan . $x$ $\log(x)$ $y = x - 1$ $y = \log(x)$ $y = x - 1$

Contoh: . $\log(1.02) = .0198 \approx 1.02 - 1$

Sekarang pertimbangkan dua variabel dan sedemikian sehingga . Maka perbedaan log kira-kira adalah persentase perubahan : $x_2$ $x_1$ $\frac{x_2}{x_1} \approx 1$ $\frac{x_2}{x_1} - 1 = \frac{x_2 - x_1}{x_1}$

\log x_{2} - \log x_{1} = \log (\frac{x_{2}}{x_{1}}) \approx \frac{x_{2}}{x_{1}} - 1

$\log x_2 - \log x_1 = \log\left( \frac{x_2}{x_1} \right) \approx \frac{x_2}{x_1} - 1$

Perubahan persen adalah perkiraan linear dari perbedaan log!

Mengapa mencatat perbedaan?

Sering kali ketika Anda berpikir dalam hal menambah persen perubahan, konsep yang lebih bersih secara matematis adalah berpikir dalam hal perbedaan log. Saat Anda berulang kali mengalikan istilah, seringkali lebih nyaman untuk bekerja dalam log dan bukannya menambahkan istilah bersama.

Katakanlah kekayaan kita pada saat diberikan oleh: Maka mungkin lebih nyaman untuk menulis: di mana . $T$

W_{T} = \prod_{t = 1}^{T} (1 + R_{t})

$W_T = \prod_{t=1}^T (1 + R_t)$

\log W_{T} = \sum_{t = 1}^{T} r_{t}

$\log W_T = \sum_{t=1}^T r_t$

r_{t} = \log (1 + R_{t}) = \log W_{t} - \log W_{t - 1}

$r_t = \log (1 + R_t) = \log W_t - \log W_{t-1}$

Di mana persen perubahan dan perbedaan log TIDAK sama?

Untuk perubahan persen besar, perbedaan log bukanlah hal yang sama dengan perubahan persen karena mendekati kurva dengan garis semakin buruk dan semakin buruk semakin jauh Anda dapatkan dari . Sebagai contoh: $y = \log(x)$ $y = x - 1$ $x=1$

\log (1.6) - \log (1) = .47 \neq 1.6 - 1

$\log\left(1.6 \right) - \log(1) = .47 \neq 1.6 - 1$

Apa perbedaan log dalam kasus ini?

Salah satu cara untuk memikirkannya adalah bahwa perbedaan dalam log dari .47 setara dengan akumulasi dari 47 perbedaan .01 log yang berbeda, yaitu sekitar 47 1% perubahan semua digabungkan menjadi satu.

\begin{aligned} \log (1.6) - \log (1) & = 47 (.01) \\ \approx 47 (\log (1.01)) \end{aligned}

$\begin{align*} \log(1.6) - \log(1) &= 47 \left( .01 \right) \\ & \approx 47 \left( \log(1.01) \right) \end{align*}$

Kemudian exponentiate kedua sisi untuk mendapatkan:

1.6 \approx {1.01}^{47}

$1.6 \approx 1.01 ^{47}$

Perbedaan log 0,47 kira-kira setara dengan 47 peningkatan berbeda 1% yang diperparah, atau bahkan lebih baik, 470 berbeda .1% meningkatkan semua senyawa ...

Beberapa jawaban di sini membuat ide ini lebih eksplisit.

— Matthew Gunn
sumber

+1, dengan harapan kelanjutan yang direncanakan dari jawaban ini akan membahas kondisi di mana perkiraannya rusak.

— whuber

4

+1. Untuk menambahkan titik minor, 1,6 ke 1 adalah penurunan 37,5%, 1 ke 1,6 adalah peningkatan 60%, perbedaan log 0,47 tidak tergantung pada arah perubahan, dan selalu di antara 0,375 dan 0,6. Ketika kita tidak tahu atau tidak peduli dengan arah perubahan, perbedaan log bisa menjadi alternatif untuk mengambil rata-rata dari perubahan dua persen, bahkan ketika perubahan persen besar.

— Paul

9

Ini versi untuk boneka ...

Kami memiliki model - garis lurus sederhana melalui cloud data - dan kami tahu bahwa begitu kami memperkirakan koefisien, peningkatan pada nilai sebelum akan menghasilkan peningkatan dalam nilai , dari , sebagai . Tetapi unit-unit tersebut sebenarnya tidak dapat berarti dalam nilai absolut. $Y= \beta_o+\beta_1X+\varepsilon$ $1\text{-unit}$ $X=x_1$ $\hat \beta_1$ $Y$ $Y=y_1$ $\hat\beta_1(x_1+1) -\hat\beta_1x_1= \hat\beta_1$

Jadi kita dapat, alih-alih mengubah model menjadi (koefisien baru). Sekarang untuk peningkatan unit yang sama di , kami memiliki perubahan $\ln(Y)= \delta_o+\delta_1X+\varepsilon$ $\hat\delta_1$

\begin{matrix} (*) & \ln (y_{2}) - \ln (y_{1}) = \ln (\frac{y_{2}}{y_{1}}) = {\hat{δ}}_{1} (x_{1} + 1) - {\hat{δ}}_{1} x_{1} = {\hat{δ}}_{1} \end{matrix}

$\ln(y_2)-\ln(y_1)=\ln\left(\frac{y_2}{y_1}\right)=\hat\delta_1(x_1+1) -\hat\delta_1x_1= \hat\delta_1 \tag{*}$

Untuk melihat implikasi terhadap perubahan persentase, kita dapat secara eksponensial : $(*)$

\begin{matrix} (**) & \exp ({\hat{δ}}_{1}) = \frac{y_{2}}{y_{1}} = \frac{y_{1} + y_{2} - y_{1}}{y_{1}} = 1 + \frac{y_{2} - y_{1}}{y_{1}} \end{matrix}

$\exp(\hat\delta_1)=\frac{y_2}{y_1}=\frac{\color{blue}{y_1}+y_2\color{blue}{-y_1}}{y_1}= 1+\frac{y_2-y_1}{y_1}\tag{**}$

$\frac{y_2-y_1}{y_1}$ adalah perubahan relatif, dan dari , perubahan persentase. $(**)$ $\small 100\,\frac{y_2-y_1}{y_1}=100(\exp(\hat\delta_1)-1)$

Kunci untuk menjawab pertanyaan adalah untuk melihat bahwa untuk nilai-nilai kecil dari , yang sama dengan penggunaan yang sama dari dua istilah pertama ekspansi Taylor yang Matius digunakan, tetapi kali ini ( seri Maclaurin ) dievaluasi nol karena kami bekerja dengan eksponen, yang bertentangan dengan logaritma: $\exp(\hat\delta_1)-1=\hat\delta_1$ $\hat\delta_1$ $e^x$

e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$

atau dengan sebagai variabel : $\delta_1$ $x$

\exp ({\hat{δ}}_{1}) = 1 + {\hat{δ}}_{1}

$\exp(\hat\delta_1)=1+\hat\delta_1$

jadi sekitar nol (kami mengevaluasi ekspansi polinomial pada nol ketika kami melakukan deret Taylor). Secara visual, $\hat\delta_1=\exp(\hat\delta_1)-1$

— Antoni Parellada
sumber

jawaban Anda cukup jelas: kami membutuhkan koefisien kecil untuk dapat mengartikan perbedaan log sebagai perubahan persentase, tetapi jawaban @aksakal menunjukkan bahwa kami hanya perlu perubahan kecil (yaitu lim Δx --> 0). Bisakah Anda jelaskan bagaimana keduanya setara?

— towi_parallelism

7

Katakanlah Anda memiliki model Ambil turunan dari log:

\ln y = A + B x

$\ln y = A+B x$

\frac{d}{d x} \ln y \equiv \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = B

$\frac{d}{dx}\ln y\equiv\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=B$

Sekarang Anda dapat melihat bahwa kemiringan sekarang merupakan kemiringan dari perubahan relatif dari : $b$ $y$

\frac{d y}{y} = B d x

$\frac{dy}{y}=B dx$

Jika Anda tidak memiliki log transformasi maka Anda akan mendapatkan kemiringan perubahan absolut dari : $y$

d y = B d x

$dy=B dx$

Saya tidak mengganti dengan untuk menekankan bahwa ini berfungsi untuk perubahan kecil . $dx,dy$ $\Delta x,\Delta y$

— Aksakal
sumber

4

Ada banyak penjelasan besar dalam jawaban saat ini, tetapi di sini ada satu lagi yang dibingkai dalam hal analisis keuangan dari akrual bunga pada investasi awal. Misalkan Anda memiliki jumlah awal satu unit yang menimbulkan bunga pada tingkat (nominal) per tahun , dengan bunga "diperparah" selama periode dalam tahun tersebut. Pada akhir satu tahun, nilai investasi awal satu unit itu adalah: $r$ $n$

I (n) = (1 + \frac{r}{n})^{n} .

$I(n) = \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n.$

Semakin sering bunga ini "digabungkan" semakin banyak uang yang Anda dapatkan dari investasi awal Anda (karena peracikan berarti Anda mendapatkan bunga atas bunga Anda). Mengambil batas sebagai kita mendapatkan "bunga majemuk terus menerus", yang memberikan: $n \rightarrow \infty$

I (\infty) = lim_{n \to \infty} (1 + \frac{r}{n})^{n} = \exp (r) .

$I(\infty) = \lim_{n \rightarrow \infty} \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n = \exp(r).$

Mengambil logaritma dari kedua belah pihak memberikan , yang berarti bahwa logaritma dari rasio investasi final terhadap investasi awal adalah tingkat bunga yang terus menerus diperparah. Dari hasil ini, kita melihat bahwa perbedaan logaritmik dalam hasil deret waktu dapat diartikan sebagai tingkat perubahan yang terus menerus bertambah . (Penafsiran ini juga dibenarkan oleh jawaban oleh aksakal , tetapi karya yang sekarang memberi Anda cara lain untuk melihatnya.) $r = \ln I(\infty)$

— Pasang kembali Monica
sumber