Apakah dua variabel acak normal standar selalu independen?

16

Saya belajar bahwa distribusi normal standar adalah unik karena mean dan variansnya tetap pada 0 dan 1 masing-masing. Dengan fakta ini, saya bertanya-tanya apakah ada dua variabel acak standar yang harus independen.

normal-distribution independence

— C. Elang
sumber

12

Kenapa mereka harus ..? Kemerdekaan tidak ada hubungannya dengan distribusi.

— Tim

27

Pertimbangkan

X

$X$ dan

X

$X$ . Mereka tidak mandiri.

— djechlin

Anda mungkin menemukan ini membantu dari sudut pandang praktis. stats.stackexchange.com/questions/15011/...

— JustGettin Mulai

Selain contoh-contoh bagus yang diberikan pertimbangkan umumnya distribusi normal bivariat dengan distribusi marjinal N (0 ,!). Dimungkinkan untuk memiliki korelasi antara -1 dan 1. Contoh di bawah ini adalah semua kasus khusus. Selain itu dimungkinkan untuk dua variabel normal standar untuk menjadi tergantung tetapi tidak memiliki distribusi bivariat.

— Michael R. Chernick

1

Saya perhatikan Batman memberikan hasil umum yang mungkin sama dengan apa yang saya sarankan. Kasus Y = -X memiliki korelasi -1 dan merupakan bentuk normal dari bivariat. Saya belum melihat contoh di sini (pada posting ini) yang menggambarkan kasus yang tidak normal bivariat.

— Michael R. Chernick

42

Jawabannya adalah tidak. Sebagai contoh, jika adalah variabel acak standar, maka mengikuti statistik yang sama, tetapi dan jelas tergantung. $X$ $Y=-X$ $X$ $Y$

— pertengkaran
sumber

26

Tidak, tidak ada alasan untuk percaya bahwa setiap standar gaussians adalah independen.

Berikut ini adalah konstruksi matematika sederhana. Misalkan dan adalah dua variabel normal standar independen. Lalu pasangan $X$ $Y$

X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}

$X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$

adalah dua variabel normal standar dependen . Jadi, selama mereka adalah dua variabel normal independen , harus ada dua variabel dependen .

Variabel kedua adalah normal karena setiap kombinasi linear dari variabel normal bebas lagi normal. The ada untuk membuat varians sama dengan. $\sqrt{2}$ $1$

V (\frac{X + Y}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{{\sqrt{2}}^{2}} (V (X) + V (Y)) = 1

$V \left(\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}^2} (V(X) + V(Y)) = 1$

Secara intuitif, ini tergantung karena mengetahui nilai memberi Anda informasi tambahan yang dapat Anda gunakan untuk memprediksi nilai variabel kedua. Misalnya, jika Anda tahu bahwa , maka harapan bersyarat dari variabel kedua adalah $X$ $X = x$

E [\frac{X + Y}{\sqrt{2}} ∣ X = x] = \frac{x}{\sqrt{2}}

$E \left[\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \mid X = x \right] = \frac{x}{\sqrt{2}}$

— Matthew Drury
sumber

7

Inilah jawaban yang cukup luas:

Misalkan menjadi variabel acak Gaussian bersama (yaitu untuk bilangan real, memiliki distribusi Gaussian). Kemudian, dan adalah independen jika dan hanya jika (yaitu mereka tidak berkorelasi). Lihat catatan ini , misalnya, untuk detailnya. $X,Y$ $a,b$ $a X + bY$ $X$ $Y$ $E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=0$

Bagaimana Anda bisa menghasilkan variabel acak normal standar yang tidak independen? Pilih matriks favorit Anda dalam bentuk sehingga memiliki akar positif dalam . Kemudian, menerapkan decompositon Cholesky ke . Kemudian, ambil dua variabel independen normal standar normal dan kemudian vektor $\Sigma=\begin{bmatrix} 1 & p \\ p & 1 \end{bmatrix}$ $(\lambda-1)^2 - p^2$ $\lambda$ $\Sigma= R R^T$ $U,V$ $R \begin{bmatrix} U \\ V \end{bmatrix}$ $p=0$

— Batman
sumber

5

Contoh normal non-bivariat (seperti yang disarankan Michael Chernick dalam komentar):

$f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} & xy\geq 0 \\ 0 & o.w. \end{cases}$ .

This is not a bivariate normal distribution, but a simple integral shows that both marginals are standard normal. They're obviously not independent since $f_{X,Y}(x,y) \neq f_X(x) f_Y(y)$ .

— Batman
sumber