Statistik lengkap untuk dalam

Saya ingin tahu apakah statistik selesai untuk dalam pengaturan .

T (X_{1}, \dots, X_{n}) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - {\bar{X}}_{n})^{2}}{n - 1}

$T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X}_n)^2}{n-1}$

σ^{2}

$\sigma^2$

N (μ, σ^{2})

$N(\mu,\sigma^2)$

Apakah ini tergantung pada apakah sebelumnya diketahui atau tidak? Jika selesai untuk , maka oleh Lehmann-Scheffé itu UMVUE . Tetapi jika diketahui, kita dapat mempertimbangkan yang variansnya sama dengan Cramer-Rao terikat , dan benar-benar kurang dari , jadi tidak bisa UMVUE. $\mu$ $T$ $\sigma^2$ $\mu$

W (X_{1}, \dots, X_{n}) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - μ)^{2}}{n},

$W(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{n},$

2 σ^{4} / n

$2\sigma^4/n$

2 σ^{4} / (n - 1) = Var [T]

$2\sigma^4/(n-1)=\text{Var}[T]$

T

$T$

— pengguna39756
sumber

Mungkin Anda akan setuju dengan saya bahwa T tidak bias ketika mu diketahui.

— Michael R. Chernick

@MichaelChernick Bukankah secara umum Anda memiliki ?

E [T] = σ^{2}

$E[T]=\sigma^2$

— user39756

Maaf Anda benar. T memiliki rata-rata sampel yang digunakan dalam rumus. Saya sedang memikirkan W.

— Michael R. Chernick

Petunjuk : Apakah Anda memeriksa untuk melihat apakah adalah cukup dalam kasus di mana dikenal?

T

$T$

μ

$\mu$

— kardinal

Jawaban:

Saya pikir saya telah memecahkan pertanyaan saya sendiri. Komentar tentang jawaban ini dan jawaban baru dipersilakan.

Jika adalah pengamatan dalam populasi dan tidak diketahui , maka (ini menunjukkan bahwa keluarga normal adalah keluarga eksponensial). Seperti gambar peta berisi set , dengan sebuah teorema (misalnya, lihat halaman 6 di sini ), statistik $x_1,\ldots,x_n$ $N(\mu,\sigma^2)$ $\mu$

f (x_{1}, \dots, x_{n} | μ, σ^{2}) = {(\frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}})}^{n} e^{- \frac{n μ^{2}}{2 σ^{2}}} e^{\frac{μ}{σ^{2}} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} - \frac{1}{2 σ^{2}} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}

$f(x_1,\ldots,x_n|\mu,\sigma^2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^ne^{-\frac{n\mu^2}{2\sigma^2}}e^{\frac{\mu}{\sigma^2}\sum_{i=1}^nx_i-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n x_i^2}$

(μ, σ^{2}) \in R \times R^{+} \mapsto (\frac{μ}{σ^{2}}, - \frac{1}{2 σ^{2}})

$(\mu,\sigma^2)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}^+\mapsto (\frac{\mu}{\sigma^2},-\frac{1}{2\sigma^2})$

R^{2}

$\mathbb{R}^2$

U = (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}, \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2})

$U=(\sum_{i=1}^n X_i,\sum_{i=1}^n X_i^2)$ cukup dan lengkap untuk . Karena adalah fungsi dari dan berpusat untuk , oleh Lehmann-Scheffé adalah UMVUE untuk .

(μ, σ^{2})

$(\mu,\sigma^2)$

T

$T$

U

$U$

σ^{2}

$\sigma^2$

T

$T$

σ^{2}

$\sigma^2$

Sekarang, jika yang dikenal , tidak milik ruang parametrik lagi, karena fungsi kepadatan "baru" adalah (kami memiliki keluarga eksponensial baru). Karena gambar peta berisi subset terbuka dari , statistik kami cukup dan lengkap untuk . Karena itu selain berpusat, adalah UMVUE untuk oleh Lehmann-Scheffé. $\mu=\mu_0$ $\mu$

f (x_{1}, \dots, x_{n} | σ^{2}) = {(\frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}})}^{n} e^{- \frac{1}{2 σ^{2}} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - μ_{0})^{2}}

$f(x_1,\ldots,x_n|\sigma^2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^ne^{-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_0)^2}$

σ^{2} \in R^{+} \mapsto - \frac{1}{2 σ^{2}}

$\sigma^2\in\mathbb{R}^+\mapsto -\frac{1}{2\sigma^2}$

R

$\mathbb{R}$

W

$W$

σ^{2}

$\sigma^2$

W

$W$

σ^{2}

$\sigma^2$

— pengguna39756
sumber

Dalam statistik , digunakan sebagai estimasi . Jika Anda mengetahui nilai sebenarnya dari , maka penaksir varians lebih disukai. adalah berisi dan memiliki varian yang lebih rendah dari . Dengan demikian, dalam pengaturan di mana diketahui, penggunaan . $T(X_{1},\ldots,X_{n})$ $\bar{X}$ $\mu$ $\mu$ $W(X_{1},\ldots,X_{n})$ $W$ $T$ $\mu$ $W$

— Ed P
sumber

Saya tahu bahwa lebih disukai, tetapi saya ingin memahami mengapa tidak lengkap ketika diketahui.

W

$W$

T

$T$

μ

$\mu$

— user39756

Saya telah mencari di internet menyegarkan ingatan saya pada Teorema Lehmann-Scheffe dan Rao-Blackwell. Saya setuju dengan OP bahwa jawabannya mungkin bahwa T bukan statistik yang cukup lengkap ketika Anda diketahui. Saya pikir mungkin perubahan ruang parameter.

— Michael R. Chernick