Contoh tandingan di mana Median berada di luar [Mode-Mean]

Ini artikel di atas liga saya tapi itu berbicara tentang topik yang saya tertarik, hubungan antara rata-rata, modus dan median. Ia mengatakan :

Dipercaya secara luas bahwa median distribusi unimodal adalah "biasanya" antara mean dan mode. Namun, ini tidak selalu benar ...

Pertanyaan saya : dapatkah seseorang memberikan contoh distribusi unimodal kontinu (idealnya sederhana) di mana median berada di luar interval [mode, mean]? Misalnya distribusi seperti mode < mean < median.

=== EDIT =======

Sudah ada jawaban yang baik oleh Glen_b dan Francis, tetapi saya menyadari bahwa apa yang saya benar-benar tertarik adalah contoh di mana mode <mean <median atau median <mean <mode (yang keduanya median berada di luar [mode, berarti] DAN median adalah "di sisi yang sama" sebagai rata-rata mode (yaitu mode di atas atau di bawah)). Saya dapat menerima jawaban di sini terbuka pertanyaan baru atau mungkin seseorang dapat menyarankan solusi di sini secara langsung?

mean median mode

— Janthelme
sumber

Tidak ada masalah untuk memperluas jawaban untuk menutupi kasus yang lebih terbatas.

— Glen_b -Reinstate Monica

Lihat gambar 6 di sini: ww2.amstat.org/publications/jse/v13n2/vonhippel.html yang memberikan contoh Weibull (kontinu unimodal) di mana median tidak berada di antara mode dan rata-rata.

— Matthew Towers

Jawaban:

Tentu, tidak sulit untuk menemukan contoh - bahkan yang unimodal terus menerus - di mana median tidak berada di antara mean dan mode.

Pertimbangkan iid dari distribusi segitiga bentuk $T_1,T_2$ $f_T(t) = 2(1-t) \mathbb{1}_{0<t<1}$

Sekarang, biarkan menjadi campuran 60-40 dari dan . $X$ $T_1$ $-4T_2$

Kerapatan terlihat seperti ini: $X$

Rerata di bawah 0, mode di 0, tetapi median di atas 0. Modifikasi minor dari ini akan menghasilkan contoh di mana bahkan kepadatan (bukan hanya cdf) kontinu, tetapi hubungan antara ukuran-lokasi adalah sama (edit: lihat 3. di bawah).
Generalisasi, mari kita menempatkan proporsi (dengan ) dari probabilitas total ke dalam segitiga sisi kanan dan proporsi ke dalam segitiga sisi kiri (di tempat 0,6 dan 0,4 kami punya sebelumnya). Selanjutnya, buat faktor penskalaan di bagian kiri daripada (dengan ): $p$ $0<p<1$ $(1-p)$ $-\beta$ $-4$ $\beta>0$

Sekarang dengan asumsi , median akan selalu berada dalam interval yang dicakup oleh segitiga-kanan, sehingga median akan melebihi mode (yang akan selalu tetap pada ). Khususnya, ketika , median akan berada di . $p>\frac12$ $0$ $p>\frac12$ $1-1/\sqrt{2p}$

Mean akan berada di . $(p - \beta(1-p))/3$

Jika maka rerata akan berada di bawah mode, dan jika rerata akan berada di atas mode. $\beta>p/(1-p)$ $\beta< p/(1-p)$

Di sisi lain, kita ingin untuk mempertahankan nilai tengah di bawah median. $(p - \beta(1-p))/3 < 1-1/\sqrt{2p}$

Pertimbangkan ; ini menempatkan median di atas mode. $p=0.7$

Maka akan memuaskan sehingga rata-rata berada di atas mode. $\beta=2$ $\beta<p/(1-p)$

Nilai median sebenarnya adalah sedangkan rerata berada di . Maka untuk dan , kami memiliki mode <rata-rata <median. $1-1/\sqrt{1.4}\approx 0.1548$ $\frac{0.7-2(0.3)}{3}\approx 0.0333$ $p=0.7$ $\beta=2$

(NB Untuk konsistensi dengan notasi saya, variabel pada sumbu x untuk kedua plot harus daripada tetapi saya tidak akan kembali dan memperbaikinya.) $x$ $t$
Ini adalah contoh di mana kerapatan itu sendiri kontinu. Hal ini didasarkan pada pendekatan di 1. dan 2. di atas, tetapi dengan "lompatan" diganti dengan kemiringan yang curam (dan kemudian seluruh kepadatan membalik sekitar 0 karena saya ingin contoh yang terlihat miring kanan).

[Menggunakan pendekatan "campuran kepadatan segitiga", ini dapat dihasilkan sebagai campuran dari 3 varian skala independen dari bentuk segitiga yang dijelaskan dalam bagian 1. Kami sekarang memiliki 15% , 60% dan 25% .] $T_1$ $-3T_2$ $5T_3$

Seperti yang kita lihat pada diagram di atas, nilai tengahnya di tengah, seperti yang diminta.

Perhatikan bahwa m_t_ menyebutkan Weibull dalam komentar (yang mediannya berada di luar interval untuk rentang kecil parameter bentuk ). Ini berpotensi memuaskan karena merupakan distribusi unimodal kontinu (dan mulus) yang terkenal dengan bentuk fungsional yang sederhana. $[\text{mode},\text{mean}]$ $k$

Khususnya, untuk nilai kecil dari parameter bentuk Weibull, distribusinya condong ke kanan, dan kami memiliki situasi median yang biasa antara mode dan rata-rata, sedangkan untuk nilai besar dari parameter bentuk Weibull, distribusinya condong ke kiri. , dan kami kembali memiliki situasi "median di tengah" (tapi sekarang dengan mode di kanan daripada rata-rata). Di antara kasus-kasus itu adalah wilayah kecil di mana median berada di luar interval mode-rata, dan di tengah-tengah itu berarti dan mode menyeberang:
```
      k                 order
 (0,3.2589)      mode < median < mean
  ≈ 3.2589       mode = median < mean
(3.2589,3.3125)  median < mode < mean    (1)
  ≈ 3.3215       median < mode = mean
(3.3215,3.4395)  median < mean < mode    (2)
  ≈ 3.4395       median = mean < mode
  3.4395+        mean < median < mode
  (≈3.60235      moment-skewness = 0)
```
Memilih nilai yang nyaman untuk parameter bentuk dalam interval yang ditandai (1) dan (2) di atas - yang mana kesenjangan antara statistik lokasi hampir sama - kita dapatkan:

Walaupun ini memenuhi persyaratan, sayangnya tiga parameter lokasi sangat berdekatan sehingga kita tidak dapat membedakannya secara visual (semuanya jatuh dalam piksel yang sama), yang sedikit mengecewakan - kasus-kasus untuk contoh saya sebelumnya jauh lebih terpisah. (Namun demikian ia menyarankan situasi untuk memeriksa dengan distribusi lain, beberapa di antaranya mungkin memberikan hasil yang lebih berbeda secara visual.)

— Glen_b -Reinstate Monica
sumber

Itu berhasil, terima kasih. Karena penasaran, apa yang akan menjadi "distribusi segitiga" yang serupa di mana mode <berarti <median? (di sini median <mode <rata-rata)

— Janthelme

Sebenarnya dalam contoh asli saya berarti <mode <median; Anda memiliki ketidaksetaraan di belakang sana. Saya sekarang telah menambahkan contoh serupa di mana rata-rata di atas mode tetapi di bawah median (memang, Anda bisa saja mengganti asli dengan mengatakan dan menjaga proporsi campuran di untuk bagian kanan dan untuk bagian kiri).

- 4 T_{2}

$-4T_2$

- 1.25 T_{2}

$-1.25T_2$

0.6

$0.6$

0.4

$0.4$

— Glen_b -Reinstate Monica

Contoh berikut diambil dari Counterexamples dalam Probabilitas dari Jordan Stoyanov .

Diberikan konstanta positif dan , pertimbangkan variabel acak dengan kerapatan Mean , median dan mode dari dapat ditemukan sebagai Catatan adalah kepadatan hanya jika Jadi jika kita membiarkan maka . Akibatnya, jika kita memilih yang dekat $c$ $\lambda$ $X$

f (x) = {\begin{cases} c e^{- λ (x - c)}, & x \in (c, \infty) \\ x, & x \in (0, c] \\ 0, & x \in (- \infty, 0] . \end{cases}

$f(x)=\begin{cases}ce^{-\lambda(x-c)}, & x\in(c, \infty) \\ x, & x\in(0, c] \\ 0, & x\in(-\infty,0].\end{cases}$

μ

$\mu$

m

$m$

M

$M$

X

$X$

μ = \frac{c^{3}}{3} + \frac{c^{2}}{λ} + \frac{c}{λ^{2}}, m = 1, M = c .

$\mu=\frac{c^3}{3}+\frac{c^2}{\lambda}+\frac{c}{\lambda^2},\qquad m=1,\qquad M=c.$

f (x)

$f(x)$

\frac{c^{2}}{2} + \frac{c}{λ} = 1.

$\frac{c^2}{2}+\frac{c}{\lambda}=1.$

c \to 1

$c\to1$

λ \to 2

$\lambda\to2$

c > 1

$c>1$

1

$1$ (mengatakan ), kita dapat menemukan bahwa dan , sehingga median tidak jatuh antara dan .

1.0001

$1.0001$

μ > c

$\mu>c$

M = c

$M=c$

m

$m$

μ

$\mu$

M

$M$

— Francis
sumber

Ambil distribusi eksponensial dengan parameter nilai a dan densitas exp (-ax) untuk 0 <= x <tak terhingga. Mode ini nol. Tentu saja mean dan median lebih besar dari 0. Cdf adalah 1-exp (-ax). Jadi untuk median resol for exp (-ax) = 0,5 untuk x. Kemudian -ax = ln (0,5) atau x = -ln (0,5) / a. Untuk mean integrasikan exp exp (-ax) dari 0 hingga tak terbatas. Ambil a = 1 dan kami memiliki median = -ln (0,5) = ln (2) dan mean = 1.

Jadi mode <median <berarti.

— Michael R. Chernick
sumber

Maaf, tetapi bukankah kita mencari distribusi di mana mode <berarti <median (atau lebih umum di mana median berada di luar [mode, rata-rata])?

— Janthelme

Maaf atas kebingungan, saya memang menambah pertanyaan asli, tetapi yang saya tanyakan awalnya adalah untuk contoh di mana median berada di luar [mode, berarti] sementara saya pikir median ada di dalam [mode, median] dalam contoh Anda.

— Janthelme

Michael, pertanyaannya tidak menanyakan kasus di mana median berada di antara mode dan rata-rata. Anda salah mengutip yang asli dalam komentar Anda tepat di atas yang ini; pertanyaannya tidak mengatakan "mode <median <rata-rata" di mana Anda menyatakan itu (dan tidak pernah melakukannya pada titik mana pun dalam riwayat edit). Akibatnya, jawaban Anda menyediakan kasus yang tidak diminta; memang itulah situasi yang biasa (median di tengah dua lainnya) bahwa pertanyaan mencari pengecualian dari. Hampir setiap distribusi unimodal miring terkenal memiliki median di tengah - triknya adalah menemukan orang yang tidak melakukan itu.

— Glen_b -Reinstate Monica

Sunting riwayat tersedia dengan mengklik tautan merah di bagian bawah pertanyaan di mana saat ini dikatakan "diedit 18 jam yang lalu" (itu berubah menjadi 19 saat saya mengetik komentar ini). Anda dapat melihat riwayat pengeditan dengan mengklik di sana. Pertanyaan telah diposting 22 jam yang lalu (saat saya mengetik ini sekarang), dan ketika Anda mengklik ke edit sejarah, pertanyaan asli dapat dilihat di bagian bawah berlabel "1". Jawaban Anda muncul sekitar 2 jam kemudian (20 jam yang lalu), ketika itu yang masih dikatakan pertanyaan itu. Sekitar 1-2 jam setelah posting Anda, OP mengedit pertanyaan mereka sekali, yang dapat dilihat ...

— Glen_b -Reinstate Monica

ctd ... di bagian atas riwayat sunting .. Ada jendela dua menit setelah setiap sunting untuk membuat perubahan yang dihitung sebagai bagian dari sunting itu (yaitu pada 22 jam yang lalu dan pada 18-19 jam yang lalu ada dua- jendela menit setiap kali mengatakan salah ketik mungkin telah diperbaiki) tetapi ~ 20 jam yang lalu ketika Anda memposting, pertanyaannya tidak berubah selama sekitar 2 jam, dan itu tetap tidak berubah selama lebih dari satu jam setelah Anda memposting, ketika pengeditan utama ( ditampilkan dalam riwayat edit) dilakukan. Setiap pengeditan di luar jendela post-edit dua menit yang singkat itu akan ada dalam riwayat edit.

— Glen_b -Reinstate Monica