Mengapa nilai yang diharapkan dinamai demikian?

Saya mengerti bagaimana kita mendapatkan 3,5 sebagai nilai yang diharapkan untuk menggulung dadu 6 sisi yang adil. Namun secara intuitif, saya dapat mengharapkan setiap wajah dengan peluang yang sama 1/6.

Jadi bukankah seharusnya nilai yang diharapkan dari menggulung dadu menjadi salah satu dari angka antara 1-6 dengan probabilitas yang sama?

Dengan kata lain, ketika ditanya pertanyaan 'apa nilai yang diharapkan dari melempar dadu bersisi 6 yang adil?', Orang harus menjawab 'oh, bisa antara 1-6 dengan peluang yang sama'. Sebaliknya itu 3,5.
Secara intuitif di dunia nyata, dapatkah seseorang menjelaskan bagaimana nilai 3,5 yang harus saya harapkan ketika melempar dadu?
Sekali lagi saya tidak ingin formula atau derivasi untuk ekspektasi.

Bayangkan Anda berada di Paris pada 1654 dan Anda dan teman Anda sedang mengamati permainan judi berdasarkan pengguliran beruntun dadu enam sisi. Sekarang, perjudian sangat ilegal dan keributan oleh polisi cukup sering, dan ditangkap di meja dengan tumpukan livre hampir pasti menjamin tugas yang panjang di Chateau d'If.

Untuk menyiasati hal ini, Anda dan teman Anda memiliki perjanjian pria pada taruhan yang dibuat antara Anda berdua sebelum roll mati terakhir. Dia setuju untuk membayar Anda lima livre jika Anda mengamati dua enam dalam lima gulungan dadu berikutnya, dan Anda setuju untuk membayarnya jumlah yang sama jika dua digulung, tanpa ada tindakan lain jika kombinasi ini tidak muncul.

Sekarang, die roll terakhir adalah enam sehingga Anda berada di tepi kursi Anda, secara kiasan. Pada saat ini, penjaga bersenjata berat masuk ke sarang dan menangkap semua orang di meja, dan kerumunan bubar.

Teman Anda yakin bahwa taruhan yang dibuat antara Anda berdua sekarang tidak berlaku. Namun, Anda yakin bahwa ia harus membayar sejumlah uang kepada Anda karena salah satu dari enam sudah digulung. Apa cara yang adil untuk menyelesaikan perselisihan ini di antara Anda berdua?

(Ini adalah interpretasi saya tentang asal-usul nilai yang diharapkan seperti yang disajikan di sini dan dibahas secara lebih rinci di sini )

Mari kita jawab pertanyaan tentang nilai wajar ini dengan cara yang tidak ketat. Jumlah yang harus dibayar teman Anda dapat dihitung dengan cara berikut. Pertimbangkan semua gulungan empat dadu. Beberapa set gulungan (yaitu yang mengandung setidaknya satu enam) akan membuat teman Anda membayar jumlah yang disepakati. Namun, pada set lain (yaitu, yang tidak mengandung enam tunggal) akan mengakibatkan Anda tidak menerima uang. Bagaimana Anda menyeimbangkan kemungkinan kedua jenis gulungan ini terjadi? Sederhana, rata-rata jumlah yang akan Anda bayarkan untuk SEMUA kemungkinan gulungan

Namun, teman Anda, (sangat tidak mungkin), masih bisa memenangkan taruhannya! Anda harus mempertimbangkan berapa kali dua yang akan digulung dalam empat dadu yang tersisa, dan rata-rata jumlah yang akan Anda bayarkan kepadanya atas jumlah semua kemungkinan gulungan empat dadu. Ini adalah jumlah wajar yang harus Anda bayar teman Anda untuk taruhannya. Jadi, jumlah yang akhirnya Anda dapatkan adalah jumlah yang harus dibayar teman Anda, dikurangi apa yang harus Anda bayarkan kepada teman Anda.

Inilah sebabnya kami menyebutnya "nilai yang diharapkan". Ini adalah jumlah rata-rata yang Anda harapkan untuk diterima jika Anda dapat mensimulasikan suatu peristiwa yang terjadi di banyak alam semesta simultan.

Pertanyaan yang sangat bagus Ini lebih halus daripada yang terlihat pada awalnya. Ini ada hubungannya dengan peristiwa acak dan variabel acak (jumlah, nilai). Kebingungan Anda berasal dari pencampuran dua konsep yang terkait tetapi berbeda ini.

Mari kita mulai dengan suatu acara. Dari cara Anda merumuskan pertanyaan Anda, tampaknya Anda mempertimbangkan hasil dari sebuah dadu melempar suatu peristiwa. Ini acak, jadi Anda bisa mendapatkan salah satu dari enam sisinya dengan peluang yang sama, seperti yang Anda tulis. Itu masuk akal.

Berapa nilai yang diharapkan dari percobaan ini? Harapan didefinisikan untuk variabel acak (nilai) bukan peristiwa. Bagi Anda angka 1 hingga 6 pada dadu hanyalah cara untuk membedakan sisi-sisinya (dalam konteks rumusan pertanyaan Anda). Bayangkan Anda menggunakan huruf-huruf: A, B, C, D, E, dan F. Ganti angka dengan huruf dan ulangi pertanyaan Anda sebagai berikut:

Dengan kata lain, ketika ditanya pertanyaan 'apa nilai yang diharapkan dari melempar dadu 6 sisi yang adil?', Orang harus menjawab 'oh, itu bisa berupa apa saja antara A dan F dengan peluang yang sama'

Sekarang cobalah untuk menghasilkan nilai yang diharapkan. Itu tidak didefinisikan!

Ekspektasi muncul ketika Anda menentukan nilai acak, seperti 1 hingga 6. Anda memetakan nilai ke ruang acara, misalnya, Anda menentukan bahwa sisi A adalah 1, sisi B adalah 2 dll. Sekarang Anda memiliki 6 angka dan dapat menghitung ekspektasi, yang kebetulan 3.5.

"Masing-masing nilai memiliki kemungkinan yang sama", atau "beberapa nilai yang paling mungkin" adalah definisi mode, bukan nilai yang diharapkan.

Bayangkan kita memainkan permainan melempar koin. Setiap kali saya melemparkan kepala, saya memberi Anda $ 1 , setiap kali saya melemparkan ekor, Anda memberi saya $ 1 . Berapa banyak uang yang Anda harapkan akan menang atau kalah dalam jangka panjang ? Jumlahnya sama, probabilitas melemparnya sama, nilai yang diharapkan adalah nol.

Nilai yang diharapkan disebut demikian karena jika Anda rata-rata semua gulungan dadu Anda berharap untuk mendapatkan nilai yang diharapkan ini dalam jangka panjang . Nilai yang diharapkan tidak terkait dengan gulungan dadu tunggal.

Dari sudut pandang historis, konsep ini tampaknya muncul di berbagai negara, jadi saya akan mempertimbangkan penggunaan kata ini sebagai konvergensi yang nyaman antara konsep-konsep serupa dalam berbagai bahasa.

Titik awal saya adalah Penggunaan Simbol Awal dalam Probabilitas dan Statistik yang sangat baik :

Harapan. Sebuah skrip besar E digunakan untuk ekspektasi dalam Buku Pelajaran Pilihan dan Peluang WA Whitworth yang terkenal (edisi kelima) tahun 1901 tetapi simbol maupun kalkulus ekspektasi menjadi dibuat dalam literatur bahasa Inggris sampai jauh kemudian. Sebagai contoh, Statistik Matematika Rietz (1927) menggunakan simbol E dan berkomentar bahwa "nilai yang diharapkan dari variabel adalah konsep yang telah banyak digunakan oleh berbagai penulis Eropa kontinental ..." Untuk penulis Eropa kontinental E bertanda "Erwartung" atau " espérance (catatan editor: mathématique) ."

Istilah ini kadang-kadang "dikaitkan dengan" Huyghens, yang dibahas dalam Huygens Foundations Of Probability :

Secara umum diterima bahwa Huygens berdasarkan probabilitas pada harapan. Namun demikian, istilah "harapan" berasal dari terjemahan Latin karya Huygens karya Van-Schooten. Terjemahan literal teks Belanda Huygens menunjukkan dengan lebih jelas apa arti sebenarnya Huygens dan bagaimana dia melanjutkan.

Rincian tambahan sehubungan dengan Fermat, Pascal dapat ditemukan di Ekspektasi dan probabilis awal .

Menariknya, konsep yang lebih umum dari nilai yang diharapkan adalah lokasi . Dengan demikian, konsep nilai yang diharapkan memiliki implikasi halus yang agak membingungkan.

$\leq 3$$\$1$$\geq 4$ kehilangan $ 1, bekerja sebaik rata-rata, dengan keuntungan benar-benar memiliki hasil di alam semesta ini.

Alasan untuk asosiasi terbatas yang tak terkendali antara istilah "nilai yang diharapkan" dan "nilai rata-rata" tampaknya historis daripada benar secara semantik, atau bahkan sangat meyakinkan. Yaitu, konteks di mana nilai ekspektasi yang dihitung konsisten dengan harapan perilaku karakterisasi lokasi dalam kumpulan data terbatas hanya pada distribusi data tertentu, dan bukan yang lain.

$f$ berlaku dengan demikian dapat ditelusuri ke Chebyshev 1887. Seperti itulah kekuatan teorema batas pusat sehingga menjadi ekspresi kurung untuk mengaitkan nilai yang diharapkan dengan nilai rata-rata, yang bertentangan dengan ukuran lokasi yang lebih umum.

Tetapi bagaimana dengan distribusi data yang tidak normal dimana ukuran lain lebih stabil dan / atau lebih mewakili data itu? Sebagai contoh, nilai mid-range atau nilai ekstrim rata-rata data dari distribusi yang seragam lebih akurat dan stabil, yaitu, tepat dan konvergen lebih cepat daripada rata-rata atau median distribusi itu. Untuk distribusi log-normal, misalnya, (sebagian besar perlakuan) data pendapatan, anti-log dari rata-rata logaritma data (AKA geometric mean$\alpha \beta ^{\alpha } t^{-\alpha -1}$$\alpha \leq 1$$\alpha \leq 1$$\alpha \gt 1$