Mengapa jumlah autokorelasi sampel dari seri stasioner sama dengan -1/2?

Saya tidak dapat memahami kepala saya tentang properti seri stasioner ini dan fungsi autokorelasi. Saya harus membuktikannya

\begin{aligned} \sum_{h = 1}^{n - 1} \hat{ρ} (h) = - \frac{1}{2} \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{h=1}^{n-1}\hat\rho(h)=-\frac{1}{2} \end{align}$

Di mana dan adalah fungsi autokovarian $\hat\rho(h)=\displaystyle\frac{\hat\gamma(h)}{\hat\gamma(0)}$ $\hat\gamma(h)$

\begin{aligned} \hat{γ} (h) = \frac{1}{n} \sum_{t = 1}^{n - h} (X_{t} - \bar{X}) (X_{t + h} - \bar{X}) \end{aligned}

$\begin{align} \hat\gamma(h) = \frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X}) \end{align}$

Semoga seseorang dapat membantu saya dengan bukti, atau setidaknya mengarahkan saya ke arah yang benar.

time-series autocorrelation stationarity

— Ernesto
sumber

Petunjuk: dengan mengurangi konstanta dari semua , yang tidak akan mengubah , Anda dapat mengasumsikan . Kuadratkan itu dan cari potongan yang cocok dengan dua jumlah Anda.

X_{t}

$X_t$

\hat{γ} (h)

$\hat\gamma(h)$

0 = \sum_{t = 1}^{n} X_{t}

$0=\sum_{t=1}^nX_t$

— whuber

Terima kasih balasannya. Saya mengerti bahwa mengurangkan konstanta tidak memengaruhi , tetapi saya tidak mengerti mengapa ini memungkinkan saya untuk menganggap bahwa jumlah seri sama dengan 0.

\hat{γ} (h)

$\hat{\gamma}(h)$

— Ernesto

Kurangi persis konstanta yang membuat sama dengan 0. Sekarang disederhanakan (karena baru memiliki rata-rata 0) dan istilah-istilahnya jauh lebih mudah untuk dimainkan (tetapi tanpa kehilangan sifat umum).

\sum X_{t}

$\sum X_t$

\hat{γ}

$\hat\gamma$

X_{t}

$X_t$

— Glen_b -Reinstate Monica

Tampaknya harus daripada

1 / (n - h)

$1/(n-h)$

1 / n

$1/n$

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos Saya percaya kedua versi adalah penduga yang valid dari fungsi autocovariance dengan sifat asimptotik yang sama tetapi saya membaca bahwa lebih disukai. (Alasannya adalah bahwa matriks adalah semi-pasti positif, saya bukan ahli matematika jadi saya tidak bisa menjelaskan alasan ini!)

1 / n

$1/n$

\hat{γ} (i - j)

$\hat{\gamma}(i-j)$

— Ernesto

Mari kita mulai dengan merepresentasikan jumlah menggunakan definisi fungsi autokorelasi: $S$

S = \sum_{h = 1}^{n - 1} \hat{ρ} (h) = \sum_{h = 1}^{n - 1} (\frac{\frac{1}{n} \sum_{t = 1}^{n - h} (X_{t} - \bar{X}) (X_{t + h} - \bar{X})}{\frac{1}{n} \sum_{t = 1}^{n} (X_{t} - \bar{X})^{2}})

$\begin{equation} S = \sum_{h=1}^{n-1} \hat{\rho}(h) = \sum_{h=1}^{n-1} \left(\frac{\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})}{\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n}(X_t-\bar{X})^2}\right) \end{equation}$

Penyebut tidak bergantung pada $h$ jadi kita bisa menyederhanakan dan bergerak ke depan $\sum$ ke pembilang, yang memberi kita:

S = \frac{\sum_{h = 1}^{n - 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (X_{t} - \bar{X}) (X_{t + h} - \bar{X})}{\sum_{t = 1}^{n} (X_{t} - \bar{X})^{2}}

$\begin{equation} S = \frac{\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h} (X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})}{\sum_{t=1}^{n} (X_t-\bar{X})^2} \end{equation}$

Sekarang perhatikan penyebutnya. Bagaimana kami mewakili sehingga kami mendapatkan ekspresi yang mirip dengan pembilang? Set $Y_t=X_t-\bar{X}$ . Kemudian $\sum_{t=1}^{n}Y_t=0.$ Penyebutnya di sini adalah $\sum_{t=1}^{n}Y_t^{2}$ . Kami tahu itu $\sum_{t=1}^{n}Y_t^{2} = \left(\sum_{t=1}^{n}Y_t\right)^2 - 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}Y_t Y_{t+h}$ , yaitu mengurangi semua pasangan unik $\times$ 2. Karena $\sum_{t=1}^{n}Y_t=0$ , karena itu $\sum_{t=1}^{n}Y_t^{2} = - 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}Y_t Y_{t+h}$ .

Memasukkan kembali dalam bentuk X, penyebut menjadi $- 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})$ . Kemudian,

S = \frac{\sum_{h = 1}^{n - 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (X_{t} - \bar{X}) (X_{t + h} - \bar{X})}{- 2 \sum_{h = 1}^{n - 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (X_{t} - \bar{X}) (X_{t + h} - \bar{X})} = - \frac{1}{2}

$\begin{equation} S=\frac{\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})}{- 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})}= -\frac{1}{2} \end{equation}$

Semoga ini membantu!

— Dilly Minch
sumber

Terima kasih banyak, saya akan menerima jawaban ini sebentar lagi, saya hanya punya satu pertanyaan terakhir. Semuanya jelas bagi saya kecuali bagian ini:

\sum_{t = 1}^{n} Y_{t}^{2} = {(\sum_{t = 1}^{n} Y_{t})}^{2} - 2 \sum_{h = 1}^{n - 1} \sum_{t = 1}^{n - h} Y_{t} Y_{t + h}

$\sum_{t=1}^{n}Y_t^{2} = \left(\sum_{t=1}^{n}Y_t\right)^2 - 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}Y_t Y_{t+h}$ . Saya tidak mengerti bagaimana kita bisa memasukkan penjumlahan ganda di sini, saya menganggap itu adalah properti atau identitas penjumlahan?

— Ernesto

Untuk melihat ini, coba perluas

(\sum_{t = 1}^{n} Y_{t})^{2}

$(\sum_{t=1}^n Y_t)^2$ . Anda mendapatkan jumlah

Y_{t}^{2}

$Y_t^2$ , lalu istilah lainnya bertipe

Y_{i} Y_{j}

$Y_iY_j$ untuk

i \neq j

$i\neq j$ , masing-masing terjadi dua kali dalam ekspansi karena simetri. Sekarang, penjumlahan ganda datang dari penghitungan pasangan ini dengan cara berikut: Untuk

Y_{1}

$Y_1$ , kita menghitung

Y_{2}, Y_{3}

$Y_2, Y_3$ , dll. Untuk

Y_{2}

$Y_2$ , kita menghitung

Y_{3}, Y_{4}

$Y_3,Y_4$ dll, sampai kita mencapai

Y_{n - 1}

$Y_{n-1}$ untuk pasangan terakhir

Y_{n - 1} Y_{n}

$Y_{n-1}Y_n$ .

— Dilly Minch