Tanyakan verifikasi hasil matriks sederhana

Seharusnya $X$ adalah $k\times 1$vektor variabel acak. Maka tolong verifikasi itu$EX^{\prime}(EXX^{\prime})^{-1}EX\leq 1$.

Kapan $K=1$ ini adalah hasil yang terkenal itu $(EX)^{2}\leq EX^{2}$. Tetapi bagaimana saya harus mengklaim ini secara umum?

Membiarkan $\mu = EX$ dan $\Sigma = E(XX^T) - \mu\mu^T$. Maka kita perlu menunjukkan

$$\mu^T (\Sigma + \mu\mu^T)^{-1}\mu \leq 1.$$

Membiarkan $C = E(XX^T)$ maka $\Sigma = C - \mu\mu^T$. Menggunakan matriks determinan lemma dan keberadaan$C^{-1}$ kita bisa melihatnya $\Sigma^{-1}$ ada kapan tepatnya $\mu^T C^{-1}\mu\neq 1$. Jika$\mu^T C^{-1} \mu = 1$ kita selesai, jadi WLOG kita asumsikan $\mu^T C^{-1}\mu\neq 1$.

Kemudian dengan rumus Sherman-Morrison yang kita miliki

$$\mu^T (\Sigma + \mu\mu^T)^{-1}\mu = \mu^T \Sigma^{-1}\mu - \mu^T \left(\frac{\Sigma^{-1}\mu\mu^T\Sigma^{-1}}{1 + \mu^T \Sigma^{-1}\mu}\right)\mu = c - \frac{c^2}{1+c} = \frac{c}{1+c} < 1$$ sejak $\Sigma^{-1}$ PSD begitu $c \geq 0$.