Kapan hukum jumlah besar gagal?

Pertanyaannya hanyalah apa yang dinyatakan dalam judul: Kapan hukum jumlah besar gagal? Yang saya maksudkan adalah, dalam hal apa frekuensi acara tidak cenderung ke probabilitas teoretis?

probability mathematical-statistics law-of-large-numbers

— emanuele
sumber

Ada dua teorema (dari Kolmogorov) dan keduanya mensyaratkan bahwa nilai yang diharapkan terbatas. Yang pertama berlaku ketika variabel IID, yang kedua, ketika pengambilan sampel independen dan varians dari $X_n$ memuaskan

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{V (X_{n})}{n^{2}} < \infty

$\sum_{n=1}^\infty \frac{V(X_n)}{n^2} < \infty$

Katakan bahwa semua memiliki nilai yang diharapkan 0, tetapi variansnya adalah sehingga kondisinya jelas gagal. Lalu apa yang terjadi? Anda masih dapat menghitung perkiraan rata-rata, tetapi itu berarti tidak akan cenderung ke 0 saat Anda mencicipi lebih dalam dan lebih dalam. Ini akan cenderung semakin menyimpang saat Anda terus mengambil sampel. $X_n$ $n^2$

Mari kita beri contoh. Katakanlah adalah seragam sehingga kondisi di atas gagal secara epik. $X_n$ $U(-n2^n , n2^n)$

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{V (X_{n})}{n^{2}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2} 2^{2 n + 2}}{12} \frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{3} \sum_{n = 1}^{\infty} 4^{n} = \infty .

$\sum_{n=1}^\infty \frac{V(X_n)}{n^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2 2^{2n+2}}{12}\frac{1}{n^2} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^\infty 4^n = \infty.$

Dengan memperhatikan itu

{\bar{X}}_{n} = \frac{X_{n}}{n} + \frac{n - 1}{n} {\bar{X}}_{n - 1},

$\bar{X}_n = \frac{X_n}{n} + \frac{n-1}{n}\bar{X}_{n-1},$

kita melihat dengan induksi bahwa rata-rata yang dihitung selalu dalam interval . Dengan menggunakan rumus yang sama untuk , kami juga melihat bahwa selalu ada yang lebih besar kesempatan dari yang kebohongan luar . Memang, $\bar{X}_n$ $(-2^n, 2^n)$ $n+1$ $1/8$ $\bar{X}_{n+1}$ $(-2^n, 2^n)$ adalah seragamdan kebohongan luardengan probabilitas. Di sisi lain, $\frac{X_{n+1}}{n+1}$ $U(-2^{n+1},2^{n+1})$ $(-2^n, 2^n)$ $1/4$ adalah didengan induksi, dan dengan simetri itu positif dengan probabilitas. Dari pengamatan ini mengikuti segera bahwalebih besar dariatau lebih kecil dari, masing-masing dengan probabilitas lebih besar dari. Karena probabilitas bahwa $\frac{n}{n+1}\bar{X}_n$ $(-2^n, 2^n)$ $1/2$ $\bar{X}_{n+1}$ $2^n$ $-2^n$ $1/16$ lebih besar dari , tidak mungkin ada konvergensi ke 0 sebagai pergi ke infinity. $|\bar{X}_{n+1}| > 2^n$ $1/8$ $n$

Sekarang, secara khusus menjawab pertanyaan Anda, pertimbangkan sebuah acara . Jika saya mengerti dengan baik, Anda bertanya "dalam kondisi apa pernyataan berikut salah?" $A$

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} 1_{A} (X_{k}) = P (X \in SEBUAH), [P] Sebuah . s .

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n} 1_A(X_k) = P(X \in A), \; [P]\;a.s.$

di mana adalah fungsi indikator dari peristiwa , yaitu jika dan sebaliknya dan didistribusikan secara identik (dan didistribusikan seperti ). $1_A$ $A$ $1_A(X_k) = 1$ $X_k \in A$ $0$ $X_k$ $X$

Kita melihat bahwa kondisi di atas akan bertahan, karena varians dari fungsi indikator dibatasi di atas oleh 1/4, yang merupakan varians maksimum dari variabel Bernouilli 0-1. Namun, apa yang bisa salah adalah asumsi kedua dari hukum yang kuat dari sejumlah besar, yaitu pengambilan sampel independen . Jika variabel acak tidak sampel independen maka konvergensi tidak terjamin. $X_k$

$X_k$ $X_1$ $k$ $n$ $A$

— gui11aume
sumber

Satu komentar. Pada wikipedia (halaman lnl) saya telah membaca bahwa ketidaktepatan varian hanya memperlambat konvergensi nilai rata-rata. Apakah berbeda dari yang Anda nyatakan?

— emanuele

Apakah kalian berdua membahas hukum yang sama? Pertanyaannya adalah tentang frekuensi peristiwa sementara balasan ini tampaknya fokus pada distribusi sampling rata - rata . Meskipun ada koneksi, itu belum muncul secara eksplisit di sini sejauh yang saya tahu.

— whuber

@whuber Benar. Saya terlalu fokus pada judul pertanyaan. Terima kasih telah menunjuk. Saya memperbarui jawabannya.

— gui11aume

@ gui11aume saya tidak mengerti "Kami melihat bahwa kondisi di atas akan berlaku, karena varians dari fungsi indikator dibatasi di atas oleh 1/4.". Apa artinya?

— emanuele

Jika mereka didistribusikan secara identik, tetapi tidak independen, batas yang dimaksud mungkin tidak ada sama sekali.

— kardinal