Nilai log yang diharapkan dari distribusi eksponensial noncentral

Misalkan non-pusat terdistribusi secara eksponensial dengan lokasi dan rate . Lalu, apa itu . $X$ $k$ $\lambda$ $E(\log(X))$

Saya tahu bahwa untuk , jawabannya adalah mana adalah konstanta Euler-Mascheroni. Bagaimana dengan kapan ? $k=0$ $-\log(\lambda) - \gamma$ $\gamma$ $k > 0$

mean expected-value integral

— Neil G
sumber

Sudahkah Anda mencoba mengintegrasikan dalam Mathematica?

Saya berasumsi (ketika kepadatan ditulis sebagai ,) jika tidak dengan probabilitas> 0, dengan konsekuensi yang mengerikan untuk .

k > 0

$k > 0$

λ \exp {- λ (x - k)}

$\lambda \exp\{-\lambda(x-k)\}$

x < 0

$x < 0$

E \log x

$\mathbb{E}\log x$

— jbowman

Saya mendapat . Mathematica lebih cepat jika Anda menggunakan perintah untuk menentukan ruang parameter.

E [\log (X)] = e^{k λ} Γ (0, k λ) + \log (k)

${\mathbb E}[\log(X)]=e^{k\lambda}\Gamma(0,k\lambda)+\log(k)$ Assumptions

Apakah fungsi gamma atas yang tidak lengkap dihitung sebagai bentuk tertutup ? (Bagi saya, tidak.) Ini hanya menyembunyikan integral melalui notasi.

— kardinal

@ NeilG Ini adalah kode Mathematica Integrate[Log[x + k]*\[Lambda]*Exp[-\[Lambda]*x], {x, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> k > 0 && \[Lambda] > 0]. Anda bisa menyalinnya dan menempelkannya di file .nb. Saya tidak yakin apakah Wolfram Alpha memungkinkan untuk menyertakan pembatasan.

Integral yang diinginkan dapat digarap menjadi submisi oleh manipulasi brute-force; di sini, kami malah mencoba memberikan derivasi alternatif dengan rasa yang sedikit lebih probabilistik.

Biarkan menjadi variabel acak eksponensial noncentral dengan parameter lokasi dan parameter tingkat . Kemudian mana . $X \sim \mathrm{Exp}(k,\lambda)$ $k > 0$ $\lambda$ $X = Z + k$ $Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$

Perhatikan bahwa dan sebagainya, menggunakan fakta standar untuk menghitung ekspektasi variabel acak non-negatif , Tetapi, pada sejak jadi mana persamaan terakhir mengikuti dari substitusi $\log(X/k) \geq 0$

E \log (X / k) = \int_{0}^{\infty} P (\log (X / k) > z) d z = \int_{0}^{\infty} P (Z > k (e^{z} - 1)) d z .

$\newcommand{\e}{\mathbb E}\newcommand{\rd}{\mathrm d}\renewcommand{\Pr}{\mathbb P} \e \log(X/k) = \int_0^\infty \Pr(\log(X/k) > z)\,\rd z = \int_0^\infty \Pr(Z > k(e^z - 1)) \,\rd z \>.$

P (Z > k (e^{z} - 1)) = \exp (- λ k (e^{z} - 1))

$\Pr(Z > k(e^z -1)) = \exp(-\lambda k(e^z - 1))$

z \geq 0

$z \geq 0$

Z \sim E x p (λ)

$Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$

E \log (X / k) = e^{λ k} \int_{0}^{\infty} \exp (- λ k e^{z}) d z = e^{λ k} \int_{λ k}^{\infty} t^{- 1} e^{- t} d t,

$\e \log(X/k) = e^{\lambda k} \int_0^\infty \exp(-\lambda k e^z) \, \rd z = e^{\lambda k} \int_{\lambda k}^\infty t^{-1} e^{-t} \,\rd t \>,$

t = λ k e^{z}

$t = \lambda k e^z$ , mencatat bahwa .

d z = d t / t

$\rd z = \rd t / t$

Integral pada ukuran kanan tampilan terakhir hanya menurut definisi dan begitu seperti yang dikonfirmasikan oleh perhitungan Mathematica @ Procrastinator dalam komentar untuk pertanyaan. $\Gamma(0,\lambda k)$

E \log X = e^{λ k} Γ (0, λ k) + \log k,

$\e \log X = e^{\lambda k} \Gamma(0,\lambda k) + \log k \>,$

NB : Notasi setara juga sering digunakan sebagai pengganti . $\mathrm E_1(x)$ $\Gamma(0,x)$

— kardinal
sumber

+1 @Michael Chernick Sepertinya tidak semua orang malas;).

Ini sangat bagus. Saya hanya ingin menunjukkan kepada siapa saja yang mengimplementasikan ini bahwa banyak implementasi dari fungsi gamma tidak lengkap membatasi parameter pertama menjadi sangat positif. Identitas memecahkan masalah kecil itu.

Γ (0, z) = - Ei (- z)

$\Gamma(0, z) = -\operatorname{Ei}(-z)$

— Neil G