Bukti mudah

Biarkan menjadi variabel standar normal acak independen. Ada banyak bukti (panjang) di luar sana, yang menunjukkan hal itu $Z_1,\cdots,Z_n$

\sum_{saya = 1}^{n} {(Z_{saya} - \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} Z_{j})}^{2} \sim χ_{n - 1}^{2}

$\sum_{i=1}^n \left(Z_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n Z_j \right)^2 \sim \chi^2_{n-1}$

Banyak bukti yang cukup panjang dan beberapa di antaranya menggunakan induksi (misalnya Casella Statistics Inference). Saya bertanya-tanya apakah ada bukti mudah dari hasil ini.

mathematical-statistics sampling

— 3x89g2
sumber

Untuk pendekatan geometris intuitif (bebas koordinat), lihat Bagian 1.2 dari teks unggulan Pendekatan Bebas Koordinat untuk Model Linier oleh Michael J. Wichura (rincian teknis diisi dalam Teorema 8.2), di mana penulis sebenarnya membandingkan bukti matriks (disediakan oleh jawaban whuber) dan pendekatan proyeksinya, menunjukkan bahwa pendekatan geometrisnya lebih alami dan kurang jelas. Secara pribadi, saya pikir bukti ini berwawasan luas dan singkat.

— Zhanxiong

Jawaban:

Untuk , tentukan $k=1, 2, \ldots, n-1$

X_{k} = (Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{k} - k Z_{k + 1}) / \sqrt{k + k^{2}} .

$X_k = (Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_k - kZ_{k+1})/\sqrt{k+k^2}.$

The , menjadi linear transformasi didistribusikan multinormally variabel acak , juga memiliki distribusi multinormal. Catat itu $X_k$ $Z_i$

Matriks varians-kovarians dari adalah matriks identitas . $(X_1, X_2, \ldots, X_{n-1})$ $n-1\times n-1$
$X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_{n-1}^2 = \sum_{i=1}^n (Z_i-\bar Z)^2.$

, yang mudah untuk memeriksa, langsung menyiratkan pada mengamati semua tidak berkorelasi dengan Semua kalkulasi datang ke fakta bahwa , di mana ada . $(1)$ $(2)$ $X_k$ $\bar Z.$ $1+1+\cdots+1 - k = 0$ $k$

Bersama-sama menunjukkan ini yang memiliki distribusi dari jumlah berkorelasi unit varians variabel normal. Menurut definisi, ini adalah distribusi , QED . $\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar Z)^2$ $n-1$ $\chi^2(n-1)$

Referensi

Untuk penjelasan dari mana pembangunan berasal dari, lihat awal jawaban saya di Cara melakukan transformasi log-rasio isometrik mengenai Helmert matriks . $X_k$
Ini adalah penyederhanaan dari demonstrasi umum yang diberikan dalam jawaban ocram di Mengapa RSS didistribusikan chi square kali np . Itu jawaban menegaskan "terdapat matriks" untuk membangun ; di sini, saya menunjukkan matriks seperti itu. $X_k$

— whuber
sumber

Konstruksi ini memiliki interpretasi geometris sederhana. (1) Variabel

didistribusikan pada distribusi simetris sferis n-dimensi (sehingga kita dapat memutarnya dengan cara apa pun yang kita suka). (2)

ditemukan sebagai solusi untuk masalah linear

, yang secara efektif proyeksi dari vektor

. (3) Jika kita memutar ruang koordinat sehingga salah satu koordinat bertepatan dengan vektor proyeksi ini,

, maka sisanya adalah distribusi (n-1) -multinomial yang mewakili ruang residu.

Z_{i}

$Z_i$

\bar{Z}

$\overline{Z}$

Z_{i} = \bar{Z} + ϵ_{i}

$Z_i = \overline{Z} + \epsilon_i$

Z

$\mathbf{Z}$

1

$\mathbf{1}$

1

$\mathbf{1}$

— Sextus Empiricus

Anda menunjukkan bahwa

's tidak berkorelasi satu sama lain. Tetapi sejauh yang saya mengerti, untuk mengatakan bahwa jumlah variabel normal standar kuadrat adalah

, kita perlu independensi, yang merupakan persyaratan yang jauh lebih kuat daripada tidak berkorelasi? EDIT: oh tunggu, jika kita tahu bahwa dua variabel terdistribusi secara normal, maka tidak berkorelasi menyiratkan independensi.

X_{i}

$X_i$

χ^{2}

$\chi^2$

— user56834

Juga, saya tidak mengerti bagaimana Anda beralih dari fakta bahwa

tidak berkorelasi dengan

(yang saya mengerti), menjadi (2). Bisakah Anda menguraikan?

X_{i}

$X_i$

\bar{Z}

$\bar Z$

— user56834

@Programmer Maaf; Saya tidak bermaksud mengatakan bahwa itu adalah deduksi logis - (1) dan (2) adalah dua pengamatan terpisah. (2) hanyalah identitas aljabar (langsung).

— whuber

Programmer, perhatikan link ke jawaban lain yang Whuber memberi ( stats.stackexchange.com/questions/259208/... ) The

dibangun berdasarkan matriks,

, dengan baris orthogonal. Sehingga Anda dapat mengevaluasi secara lebih abstrak (kurang keliru) cara

sebagai

X_{k}

$X_k$

H

$H$

\sum K_{i}^{2}

$\sum K_i^2$

, (catatan kita harus memperpanjang K oleh vektor 1111 untuk membuatnya n oleh n)

K \cdot K = (H Z) \cdot (H Z) = (H Z)^{T} (H Z) = Z^{T} (H^{T} H) Z = Z^{T} I Z = Z \cdot Z

$K \cdot K = (H Z) \cdot (H Z) = (HZ)^T (HZ) = Z^T (H^TH) Z= Z^T I Z = Z \cdot Z$

— Sextus Empiricus

Perhatikan Anda mengatakan adalah iid dengan standar normal , dengan dan $Z_is$ $N(0,1)$ $\mu=0$ $\sigma=1$

Kemudian $Z_i^2\sim \chi^2_{(1)}$

Kemudian

\begin{aligned} \sum_{saya = 1}^{n} Z_{saya}^{2} & = \sum_{saya = 1}^{n} (Z_{saya} - \bar{Z} + \bar{Z})^{2} = \sum_{saya = 1}^{n} (Z_{saya} - \bar{Z})^{2} + n {\bar{Z}}^{2} \\ (1) & = \sum_{saya = 1}^{n} (Z_{saya} - \bar{Z})^{2} + {[\frac{\sqrt{n} (\bar{Z} - 0)}{1}]}^{2} \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{i=1}^n Z_i^2&=\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z}+\bar{Z})^2=\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2+n\bar{Z}^2\\&=\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2+\left[\frac{\sqrt{n}(\bar{Z}-0)}{1}\right ]^2 \tag{1} \end{align}$

Perhatikan bahwa sisi kiri tangan (1), dan bahwa jabatan kedua di sisi kanan

\sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} \sim χ_{(n)}^{2}

$\sum_{i=1}^n Z_i^2\sim\chi^2_{(n)}$

{[\frac{\sqrt{n} (\bar{Z} - 0)}{1}]}^{2} \sim χ_{(1)}^{2} .

$\left[\frac{\sqrt{n}(\bar{Z}-0)}{1}\right ]^2 \sim\chi^2_{(1)}.$

Selanjutnya sehingga dan bersifat independen. Oleh karena itu dua istilah terakhir dalam (1) (fungsi dan ) juga independen. Oleh karena itu, mgfnya terkait dengan mgf sisi kiri (1) hingga $\operatorname{Cov}(Z_i-\bar Z,\bar Z)=0$ $Z_i-\bar Z$ $\bar Z$ $Z_i-\bar Z$ $Z_i$ di mana dan . Karena itu, mgf adalah

M_{n} (t) = M_{n - 1} (t) M_{1} (t)

$M_n(t) = M_{n-1}(t)M_1(t)$

M_{n} (t) = (1 - 2 t)^{- n / 2}

$M_n(t)=(1-2t)^{-n/2}$

M_{1} (t) = (1 - 2 t)^{- 1 / 2}

$M_1(t)=(1-2t)^{-1/2}$

\sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z})^{2}

$\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2$

. Dengan demikian,

adalah chi-square dengan

derajat kebebasan.

M_{n - 1} (t) = M_{n} (t) / M_{1} (t) = (1 - 2 t)^{- (n - 1) / 2}

$M_{n-1}(t)=M_n(t)/M_1(t)=(1-2t)^{-(n-1)/2}$

\sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z})^{2}

$\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2$

n - 1

$n-1$

— Jauh di Utara
sumber

"Karenanya" yang terakhir terlalu ceroboh

— Zhanxiong

\bar{X}

$\bar{X}$

\bar{X}

$\bar{X}$

\sum Z_{i}^{2}

$\sum Z_i^2$

\bar{Z}

$\bar{Z}$

\sum (Z_{i} - \bar{Z})^{2}

$\sum (Z_i - \bar{Z})^2$

\bar{Z}

$\bar{Z}$

Saya pikir saya menggunakan Teorema Cochran

— Deep North

@DeepNorth Jika diisi dengan beberapa bagian yang hilang dalam bukti Anda

— Jarle Tufto