Distribusi Rasio Gaussian: Derivatif wrt yang mendasari 's dan s

Saya bekerja dengan dua distribusi normal independen dan , dengan mean dan dan varians dan . $X$ $Y$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma^2_x$ $\sigma^2_y$

Saya tertarik dalam distribusi rasio mereka . Baik maupun memiliki rata-rata nol, jadi tidak didistribusikan sebagai Cauchy. $Z=X/Y$ $X$ $Y$ $Z$

Saya perlu menemukan CDF dari , dan kemudian mengambil turunan dari CDF sehubungan dengan , , dan . $Z$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma^2_x$ $\sigma^2_y$

Apakah ada yang tahu makalah di mana ini sudah dihitung? Atau bagaimana melakukan ini sendiri?

Saya menemukan formula untuk CDF di kertas 1969 , tetapi mengambil turunan ini pasti akan sangat menyebalkan. Mungkin seseorang sudah melakukannya atau tahu cara melakukannya dengan mudah? Saya terutama perlu tahu tanda-tanda turunan ini.

Makalah ini juga berisi perkiraan analitik yang lebih sederhana jika sebagian besar positif. Saya tidak dapat memiliki batasan itu. Namun, mungkin aproksimasi memiliki tanda yang sama dengan turunan sebenarnya bahkan di luar rentang parameter? $Y$

— ABC
sumber

Saya telah menambahkan untuk Anda. Anda menulis "sigma" tetapi menyebutkan bahwa ini adalah varian, jadi saya membuatnya sigma-kuadrat. Pastikan masih mengatakan apa yang ingin Anda tanyakan.

T E X

$\TeX$

— gung - Pasang kembali Monica

en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution memiliki fungsi kepadatan probabilitas.

— Douglas Zare

Itu sama dengan PDF di kertas di atas. Saya mencoba untuk mengambil turunan dari CDF sehubungan dengan mus dan sigma yang mendasarinya.

— ABC

Formula pdf yang ditemukan oleh David Hinkley sepenuhnya dalam bentuk tertutup. Jadi Anda bisa mengambil turunannya, satu langkah pada satu waktu. Saya benar-benar ingin tahu tentang titik melakukan derivasi seperti itu karena tidak ada alasan tandanya harus konstan seragam atas bilangan real ...

— Xi'an

@ABC Anda dapat menemukan kerapatan dalam persamaan 1 dari makalah ini . Saya mengerjakannya beberapa waktu lalu dan setuju dengan hasil Hinkley dan hasil Marsaglia . Dapat disimpulkan dengan brute force seperti yang disarankan Douglas Zare (saya melakukannya, hanya disarankan jika Anda benar - benar perlu melakukannya).

X / Y

$X/Y$

Jawaban:

Beberapa makalah terkait:

Wiki: ` http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution

— Kuantum
sumber

Selamat datang di situs ini, @Quantum. Maukah Anda memberikan ringkasan singkat dari makalah ini, sehingga pembaca dapat menilai apakah itu yang mereka cari tanpa harus membuka & membaca masing-masing?

— gung - Reinstate Monica

@ung Ya, saya keberatan ... Hanya bercanda. Ini adalah makalah-makalah terbaru tentang topik tersebut, berisi ungkapan untuk kepadatan , sejauh yang saya ketahui. Topiknya tidak begitu panas, sehingga kemungkinan daftar ini mutakhir kecuali Anda membaca ini pada tahun 2527.

Z = X / Y

$Z=X/Y$

— Quantum

Quantum - Itu tidak menjawab kekhawatiran @ gung. Jawaban khusus tautan biasanya tidak dapat diterima. Gung telah bertanya apakah Anda bisa 'memberikan ringkasan singkat dari makalah ini' (artinya 'dalam jawaban Anda'). Deskripsi kolektif Anda dalam komentar tidak cukup. Tolong beri deskripsi singkat tentang setiap tautan (jika mungkin, secara individu, tidak secara kolektif) yang akan menunjukkan mengapa Anda memasukkannya / mengapa itu relevan. Saat ini, jawaban Anda yang berpotensi bermanfaat berisiko dikonversikan ke komentar - seperti yang telah terjadi dengan tanggapan tautan saja sebelumnya untuk pertanyaan ini.

— Glen_b -Reinstate Monica

Saya tidak mengerti mengapa ekspektasi rasio tidak ada. Jika dan secara bersama-sama terdistribusi secara normal dengan mean berbeda dari nol, maka rata-rata diberikan oleh , apa yang saya lewatkan?

X

$X$

Y

$Y$

Z = \frac{X}{Y}

$Z = \frac{X}{Y}$

\int \int \frac{x}{y} p (x, y) d x d y

$\int \int \frac{x}{y} p \left( x, y \right) dx dy$

— Royi

Whay Anda hilang adalah fakta bahwa kepadatan adalah terus menerus dan positif pada nol, sehingga ada ekor yang dihasilkan berat ...

y

$y$

— kjetil b halvorsen

Pertimbangkan untuk menggunakan paket matematika simbolis seperti Mathematica, jika Anda memiliki lisensi, atau Sage jika Anda tidak.

Jika Anda hanya melakukan pekerjaan numerik, Anda mungkin juga mempertimbangkan diferensiasi numerik.

Meskipun membosankan, itu memang terlihat lurus ke depan. Artinya, semua fungsi yang terlibat memiliki mudah untuk menghitung turunan. Anda mungkin menggunakan diferensiasi numerik untuk menguji hasil Anda ketika Anda selesai untuk memastikan Anda memiliki formula yang tepat.

— Dave31415
sumber

Ini adalah jenis masalah yang sangat mudah secara numerik, dan juga lebih sedikit kesalahan. Karena Anda mengatakan Anda hanya membutuhkan tanda-tanda, saya berasumsi bahwa perkiraan numerik yang akurat lebih dari cukup untuk kebutuhan Anda. Berikut adalah beberapa kode dengan contoh turunannya terhadap : $\mu_x$

pratio <- function(z, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    sd_x <- sqrt(var_x)
    sd_y <- sqrt(var_y)

    a <- function(z) {
        sqrt(z*z/var_x+1/var_y)
    }

    b <- function(z) {
        mu_x*z/var_x + mu_y/var_y
    }

    c <- mu_x^2/var_x + mu_y^2/var_y

    d <- function(z) {
        exp((b(z)^2 - c*a(z)^2)/(2*a(z)^2))
    }


    t1 <- (b(z)*d(z)/a(z)^3)
    t2 <- 1.0/(sqrt(2*pi)*sd_x*sd_y)
    t3 <- pnorm(b(z)/a(z)) - pnorm(-b(z)/a(z))
    t4 <- 1.0/(a(z)^2*pi*sd_x*sd_y)
    t5 <- exp(-c/2.0)
    return(t1*t2*t3 + t4*t5)
}

# Integrates to 1, so probably no typos.
print(integrate(pratio, lower=-Inf, upper=Inf))

cdf_ratio <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    integrate(function(x) {pratio(x, mu_x, mu_y, var_x, var_y)}, 
        lower=-Inf, upper=x, abs.tol=.Machine$double.eps)$value
} 

# Numerical differentiation here is very easy:
derv_mu_x <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    eps <- sqrt(.Machine$double.eps)
    left <- cdf_ratio(x, mu_x+eps, mu_y, var_x, var_y)
    right <- cdf_ratio(x, mu_x-eps, mu_y, var_x, var_y)
    return((left - right)/(2*eps))
}

— AaronDefazio
sumber