Jika dan adalah variabel normal masing-masing dengan rata-rata nol, maka juga merupakan variabel Normal

Saya mencoba membuktikan pernyataan itu:

Jika dan adalah variabel acak independen, $X\sim\mathcal{N}(0,\sigma_1^2)$ $Y\sim\mathcal{N}(0,\sigma_2^2)$

maka juga merupakan variabel acak Normal. $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$

Untuk kasus khusus (katakanlah), kami memiliki hasil yang terkenal bahwa setiap kali dan adalah bebas . Faktanya, secara umum diketahui bahwa adalah variabel independen . $\sigma_1=\sigma_2=\sigma$ $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$ $X$ $Y$ $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$ $\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$

Sebuah bukti dari hasil terakhir mengikuti dengan menggunakan transformasi mana dan . Memang, di sini dan . Saya mencoba meniru bukti ini untuk masalah yang ada tetapi tampaknya menjadi berantakan. $(X,Y)\to(R,\Theta)\to(U,V)$ $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ $u=\frac{r}{2}\sin(2\theta),v=\frac{r}{2}\cos(2\theta)$ $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$ $V=\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$

Jika saya belum membuat kesalahan, maka untuk saya berakhir dengan densitas gabungan dari sebagai $(u,v)\in\mathbb{R}^2$ $(U,V)$

f_{U, V} (u, v) = \frac{2}{σ_{1} σ_{2} π} \exp [- \sqrt{u^{2} + v^{2}} (\frac{\sqrt{u^{2} + v^{2}} + v}{σ_{1}^{2}} + \frac{\sqrt{u^{2} + v^{2}} - v}{σ_{2}^{2}})]

$f_{U,V}(u,v)=\frac{2}{\sigma_1\sigma_2\pi}\exp\left[-\sqrt{u^2+v^2}\left(\frac{\sqrt{u^2+v^2}+v}{\sigma_1^2}+\frac{\sqrt{u^2+v^2}-v}{\sigma_2^2}\right)\right]$

Saya memiliki pengali atas karena transformasi tidak satu-ke-satu. $2$

Jadi densitas akan diberikan oleh , yang tidak mudah dievaluasi. $U$ $\displaystyle \int_{\mathbb{R}}f_{U,V}(u,v)\,\mathrm{d}v$

Sekarang saya tertarik untuk mengetahui apakah ada bukti di mana saya hanya dapat bekerja dengan dan tidak perlu mempertimbangkan beberapa untuk menunjukkan bahwa adalah Normal. Menemukan CDF tidak begitu menjanjikan bagiku saat ini. Saya juga ingin melakukan hal yang sama untuk case . $U$ $V$ $U$ $U$ $\sigma_1=\sigma_2=\sigma$

Yaitu, jika dan adalah independen maka saya ingin menunjukkan bahwa tanpa menggunakan perubahan variabel. Jika saya bisa mengatakan bahwa , maka saya sudah selesai. Jadi dua pertanyaan di sini, kasus umum dan kemudian kasus khusus. $X$ $Y$ $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ $Z=\frac{2XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ $Z\stackrel{d}{=}X$

Posting terkait di Math.SE:

$X^2-Y^2/ \sqrt{X^2+Y^2}\sim N(0,1)$ ketika secara independen $X,Y\sim N(0,1)$ .

Mengingat bahwa adalah iid , tunjukkan bahwa iid $X,Y$ $N(0,1)$ $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$ $N(0,\frac{1}{4})$ .

Edit.

Masalah ini sebenarnya disebabkan oleh L. Shepp seperti yang saya temukan dalam latihan Pengantar Teori Probabilitas dan Penerapannya (Vol. II) oleh Feller, disertai petunjuk yang mungkin:

Tentunya, dan saya memiliki kepadatan di tangan. $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^2}+\frac{1}{Y^2}}}$ $\frac{1}{X^2}$

Mari kita lihat apa yang bisa saya lakukan sekarang. Terlepas dari ini, sedikit bantuan dengan integral di atas juga diterima.

— StubbornAtom
sumber

Sementara serupa, pendekatan MGF untuk sambungan sedikit lebih mudah. Lihat jawaban terakhir dari: math.stackexchange.com/a/2665178/22064 dan: math.stackexchange.com/questions/2664469/…

(U, V)

$(U,V)$

— Alex R.

@AlexR. Ya saya telah melihat pendekatan mgf bersama, yang bekerja cukup baik jika saya menemukan distribusi bersama untuk kasus varians yang sama. Tapi saya sudah punya bukti dengan mengubah variabel dalam kasus itu, yang menurut saya lebih mudah. Apa yang saya coba lakukan adalah untuk bekerja dengan saja, karena itu adalah distribusi saya setelah.

U

$U$

— StubbornAtom

Kuncinya adalah bahwa jumlah dan , yang merupakan distribusi chi-squared terbalik berskala, juga merupakan distribusi chi-kuadrat terbalik berskala (yaitu properti distribusi stabil). Jadi keajaiban terjadi dalam persamaan ketiga berikut ini:

\frac{1}{X^{2}}

$\frac{1}{X^2}$

\frac{1}{Y^{2}}

$\frac{1}{Y^2}$

U = \frac{X Y}{X^{2} + Y^{2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^{2}} + \frac{1}{Y^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{Z^{2}}}} = Z

$U = \frac{XY}{X^2+Y^2} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^2}+\frac{1}{Y^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{Z^2}}} = Z$

— Sextus Empiricus

@ MartijnWeterings Rupanya itu adalah bukti asli yang diberikan oleh Shepp.

— StubbornAtom

Saya tidak akan membuat ini sendiri jika Anda tidak menyebutkan komentar oleh Shepp. Tapi, saya punya ide bahwa Anda tidak mendapatkan bukti ini. Atau setidaknya ini tidak jelas apakah ini masalahnya.

— Sextus Empiricus

Jawaban:

Solusi asli dari masalah oleh Shepp menggunakan konsep properti hukum yang stabil, yang tampaknya sedikit maju untuk saya saat ini. Jadi saya tidak bisa memahami petunjuk yang diberikan dalam latihan yang saya kutip di posting saya. Saya kira bukti yang hanya melibatkan variabel tunggal dan tidak menggunakan perubahan variabel sulit untuk dibuat. Jadi saya membagikan tiga makalah akses terbuka yang saya temukan yang memberikan solusi alternatif untuk masalah ini: $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$

Yang pertama telah meyakinkan saya untuk tidak pergi ke jalan integrasi saya mengambil dengan itu pilihan variabel untuk menurunkan kepadatan . Ini adalah makalah ketiga yang terlihat seperti sesuatu yang bisa saya ikuti. Saya memberikan sketsa buktinya di sini: $V$ $U$

Kami berasumsi tanpa kehilangan keumuman , dan set . Sekarang mencatat bahwa dan independen, kami memiliki kepadatan bersama . Kami menyatakannya dengan . $\sigma_1^2=1$ $\sigma_2^2=\sigma^2$ $X^2\sim\chi^2_1$ $\frac{Y^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_1$ $(X^2,Y^2)$ $f_{X^2,Y^2}$

Pertimbangkan transformasi sedemikian rupa sehingga dan . Jadi kita memiliki kerapatan sambungan . Mari kita tunjukkan dengan . Mengikuti prosedur standar, kita mengintegrasikan wrt untuk untuk mendapatkan kepadatan marjinal dari . $(X^2,Y^2)\to(W,Z)$ $W=\frac{X^2Y^2}{X^2+Y^2}$ $Z=\frac{X^2+Y^2}{Y^2}$ $(W,Z)$ $f_{W,Z}$ $f_{W,Z}$ $z$ $f_W$ $W$

Kami menemukan bahwa adalah varian Gamma dengan parameter dan , sehingga . Kami mencatat bahwa kerapatan simetris sekitar . Ini menyiratkan bahwa , dan karenanya . $W=U^2$ $\frac{1}{2}$ $2(1+\frac{1}{\sigma})^{-2}$ $(1+\frac{1}{\sigma})^2\,W\sim\chi^2_1$ $U$ $0$ $(1+\frac{1}{\sigma})U\sim\mathcal{N}(0,1)$ $U\sim\mathcal{N}\left(0,\left(\frac{\sigma}{\sigma+1}\right)^2\right)$

— StubbornAtom
sumber

Menurut Ini

Mengubah dua variabel acak normal

$X=r\cos(\theta) \hspace{.5cm} Y=r\sin(\theta) \hspace{.5cm} X,Y \sim normal(0,1) \Leftrightarrow \theta \sim Uniform(0,2\pi) \hspace{.5cm} r^2\sim chi(2)$ . dan independen dan independen.
$X$ $Y$ $\Leftrightarrow$ $\theta$ $r$

juga that karena $\sin(\theta) \sim \cos(\theta) \sim \sin(2\theta) \sim 2\sin(\theta) \cos(\theta) \sim \cos(2\theta) \sim \cos(2\theta) \sim f$ $f(z) =\frac{1}{\pi \sqrt(1-z^2)} I_{[-1,1]}(z)$ $z=\sin(\theta) \Rightarrow f(z)=|\frac{d}{dz} \sin^{-1}(z)| f_{\theta}(\sin^{-1}(z)) + |\frac{d}{dz} (\pi-\sin^{-1}(z))| f_{\theta}(\pi -\sin^{-1}(z)) =\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} +\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} =\frac{1}{\pi\sqrt(1-z^2)}$

serupa untuk orang lain.

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \cos(\theta) \sin(\theta)}{r}=2r \cos(\theta) \sin(\theta) =r \sin(2\theta) \sim r \sin(\theta) \sim N(0,1)$

jadi kami dapat menunjukkan:

$X= \sigma r \cos(\theta)$ dan $Y=\sigma r \sin(\theta)$

begitu

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \sigma \sigma \cos(\theta) \sin(\theta)}{r \sigma}=2\sigma r \cos(\theta) \sin(\theta) =\sigma r \sin(2\theta)\sim \sigma r \sin(\theta)\sim \sigma N(0,1)=N(0,\sigma^2)$

untuk tampil mandiri

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}= \sigma r \sin(\theta)$

$\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{r^2 \sigma^2 (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta))}{2r\sigma} =\frac{1}{2} r \sigma (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)) \sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(2\theta)\sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(\theta)$ dan mudah dikatakan mereka independen.

— Masoud
sumber

Bagaimana jika ?

σ_{X} \neq σ_{Y}

$\sigma_X \neq \sigma_Y$

— Sextus Empiricus

Saya tidak memikirkannya. tetapi beberapa masalah perhitungan terjadi dalam

s q r t (X^{2} + Y^{2})

$sqrt(X^2+Y^2)$

— Masoud