Mengapa kita peduli jika proses MA tidak dapat dibalik?

14

Saya mengalami kesulitan memahami mengapa kami peduli jika proses MA tidak dapat dibalik atau tidak.

Tolong perbaiki saya jika saya salah, tapi saya bisa mengerti mengapa kita peduli apakah proses AR itu kausal atau tidak, yaitu jika kita dapat "menulis ulang," bisa dikatakan, sebagai jumlah dari beberapa parameter dan white noise - yaitu proses rata-rata bergerak. Jika demikian, kita dapat dengan mudah melihat bahwa proses AR adalah sebab akibat.

Namun, saya mengalami kesulitan memahami mengapa kami peduli apakah kami dapat mewakili proses MA sebagai proses AR dengan menunjukkan bahwa itu tidak dapat dibalik. Saya tidak begitu mengerti mengapa kami peduli.

Wawasan apa pun akan bagus.

— agra94
sumber

1

kasual kausal

\to

$\rightarrow$

— Richard Hardy

7

Invertibilitas sebenarnya bukan masalah besar karena hampir semua model MA $(q)$ Gaussian, non-invertible dapat diubah menjadi model MA $(q)$ invertibel yang mewakili proses yang sama dengan mengubah nilai parameter. Ini disebutkan dalam sebagian besar buku teks untuk model MA (1) tetapi itu benar secara umum.

Sebagai contoh, perhatikan MA (2) Model

\begin{matrix} (1) & z_{t} = (1 - 0.2 B) (1 - 2 B) w_{t}, \end{matrix}

$z_t = (1-0.2B)(1-2B)w_t, \tag{1}$ di mana

w_{t}

$w_t$ adalah white noise dengan varians

σ_{w}^{2}

$\sigma_w^2$ . Ini bukan model yang dapat dibalik karena

θ (B)

$\theta(B)$ memiliki satu akar sama dengan 0,5 di dalam lingkaran unit. Namun, mempertimbangkan MA alternatif (2) Model diperoleh dengan mengubah akar ini untuk nilai timbal balik nya dari 2 seperti model mengambil bentuk

\begin{matrix} (2) & z_{t} = (1 - 0.2 B) (1 - 0.5 B) w_{t}^{'} \end{matrix}

$z_t = (1-0.2B)(1-0.5 B)w_t' \tag{2}$ mana

w_{t}^{'}

$w_t'$ memiliki varian

σ_{w}^{' 2} = 4 σ_{w}^{2}

$\sigma_w'^2=4\sigma_w^2$ . Anda dapat dengan mudah memverifikasi bahwa model (1) dan (2) keduanya memiliki fungsi autocovariance yang sama dan karenanya menentukan distribusi yang sama untuk data jika prosesnya Gaussian.

Untuk membuat model dapat diidentifikasi sedemikian rupa sehingga ada pemetaan satu-ke-satu dari $\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_q,\sigma_w^2$ untuk distribusi data, oleh karena itu ruang parameter oleh konvensi terbatas pada yang tidak dapat dibalik. model. Konvensi khusus ini lebih disukai karena model kemudian dapat diletakkan langsung dalam bentuk AR $(\infty)$ dengan koefisien $\pi_1,\pi_2,\dots$ memenuhi persamaan perbedaan sederhana $\theta(B)\pi_i=0$ .

$(q)$ $2^q$ $q$

Anda selalu dapat memindahkan akar dari dalam ke luar lingkaran unit dengan perubahan yang sesuai dalam varians white noise menggunakan teknik di atas, kecuali dalam kasus di mana polinomial-MA memiliki satu atau lebih akar tepat pada lingkaran unit.

— Jarle Tufto
sumber

Sangat menarik!

— Richard Hardy

Ya, saya tidak tahu mengapa ini tidak dinyatakan lebih jelas di buku teks. Anda dapat melihat "trik" ini digunakan oleh fungsi maInvertdi dalam fungsi R arimauntuk memastikan bahwa estimasi parameter sesuai dengan model yang tidak dapat dibalik.

— Jarle Tufto

0

$X_t$

X_{t} = θ (B) Z_{t}

$X_t = \theta(B)Z_t$

ξ (B) X_{t} = Z_{t}

$\xi(B)X_t = Z_t$

ξ (B)

$\xi(B)$

Juga, dilihat dari judul dalam referensi di tautan pertama, para penulis itu memiliki banyak hal untuk dikatakan tentang masalah ini. Sayangnya saya tidak dapat menemukan salinan buku / kertas itu di internet. Jika ada yang bisa menemukan itu, tolong beri tahu saya.

— Taylor
sumber