Apakah stasioneritas dipertahankan di bawah kombinasi linear?

Bayangkan kita memiliki dua proses deret waktu, yang diam, menghasilkan: .$x_t,y_t$

Apakah , juga stasioner?$z_t=\alpha x_t +\beta y_t$$\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$

Bantuan apa pun akan dihargai.

Saya akan mengatakan ya, karena memiliki representasi MA.

Mungkin mengejutkan, ini tidak benar. (Namun, kemandirian dari dua seri waktu itu akan menjadi kenyataan.)

Saya mengerti "stabil" berarti diam, karena kata-kata itu tampaknya digunakan secara bergantian dalam jutaan klik pencarian, termasuk setidaknya satu di situs kami .

Untuk contoh tandingan, misalkan adalah deret waktu stasioner tidak konstan yang setiap tidak bergantung pada , dan yang distribusi marjinalnya simetris di sekitar . MenetapkanX t X s s ≠ t , $X$$X_t$$X_s$$s\ne t,$$0$

$$Y_t = (-1)^t X_t.$$

Plot-plot ini menunjukkan bagian dari tiga seri waktu yang dibahas dalam posting ini. disimulasikan sebagai serangkaian undian independen dari distribusi Normal standar.$X$

Untuk menunjukkan bahwa adalah stasioner, kita perlu menunjukkan bahwa distribusi gabungan dari untuk setiap tidak bergantung pada . Tapi ini mengikuti langsung dari simetri dan independensi . ( Y s + t 1 , Y s + t 2 , … , Y s + t n ) t 1 < t 2 < ⋯ < t n s X $Y$$(Y_{s+t_1}, Y_{s+t_2}, \ldots, Y_{s+t_n})$$t_1\lt t_2 \lt \cdots \lt t_n$$s$$X_t$

Ini scatterplots lag (untuk urutan nilai 512 ) menggambarkan pernyataan bahwa distribusi bivariat bersama adalah seperti yang diharapkan: independen dan simetris. (A "lagged scatterplot" menampilkan nilai terhadap ; nilai ditunjukkan.)Y Y t + s Y t s = 0 , 1 , $Y$$Y$$Y_{t+s}$$Y_{t}$$s=0,1,2$

Namun demikian, memilih , kami miliki$\alpha=\beta=1/2$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = X_t$$

bahkan untuk dan sebaliknya$t$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = 0.$$

Karena adalah tidak konstan, jelas kedua ekspresi ini memiliki distribusi yang berbeda untuk dan , di mana deret tidak stasioner. Warna pada gambar pertama menyoroti ketidakstabilan ini dalam dengan membedakan nilai nol dari yang lainnya.t t + 1 ( X + Y ) / 2 ( X + Y ) /$X$$t$$t+1$$(X+Y)/2$$(X+Y)/2$

Pertimbangkan proses dua dimensi

$$w_t = (x_t, y_t)$$

Jika benar-benar stasioner, atau jika tidak, proses dan secara bersama - sama stasioner , maka proses yang dibentuk oleh fungsi terukur juga akan sangat stasioner.( y t$(x_t)$$(y_t)$$f:= f(x_t,y_t), f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$

Dalam contoh @ whuber yang kita miliki

$$w_t = (x_t, (-1)^t x_t)$$

Untuk memeriksa apakah ini benar-benar diam, kita harus terlebih dahulu mendapatkan distribusi probabilitasnya. Asumsikan variabel benar-benar kontinu. Untuk beberapa , kami punya c ∈ $w_t$$c \in \mathbb R$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c, X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(X_t \leq c, -X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(-c\leq X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$\implies \text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_t| \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

Tetap dengan contoh whuber, dua cabang adalah distribusi probabilitas yang berbeda karena memiliki simetris distribusi sekitar nol. $x_t$

Sekarang untuk menguji stasioneritas yang ketat, menggeser indeks dengan nomor keseluruhan . Kita punya$k>0$

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_{t+k} \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is odd}}$$

Untuk stasioneritas yang ketat, kita harus memilikinya

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)=\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c),\;\;\; \forall t,k$$

Dan kami tidak memiliki persamaan ini , karena, katakanlah, jika adalah genap dan adalah ganjil, maka adalah ganjil, dalam hal ini$\forall t,k$$t$$k$$t+k$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c) = \text{Prob}(X_t \leq c)$$

sementara

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c) = \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)= \text{Prob}( |X_{t}| \leq c)$$

Jadi kita tidak memiliki stasioneritas yang ketat bersama , dan kemudian kita tidak memiliki jaminan tentang apa yang akan terjadi pada fungsi . $f(x_t,y_t)$

Saya harus menunjukkan bahwa ketergantungan antara dan , adalah yang diperlukan tetapi tidak cukup untuk hilangnya stasioneritas bersama yang ketat. Ini adalah asumsi tambahan ketergantungan pada indeks yang melakukan pekerjaan.$x_t$$y_t$$y_t$

Mempertimbangkan

$$q_t = (x_t, \theta x_t),\;\;\; \theta \in \mathbb R$$

Jika seseorang melakukan pekerjaan sebelumnya untuk seseorang akan menemukan bahwa patungan yang ketat berlaku di sini.$(q_t)$

Ini adalah berita bagus karena untuk proses yang bergantung pada indeks dan tetap stasioner bukan di antara asumsi pemodelan yang perlu kita buat sangat sering. Oleh karena itu dalam praktiknya, jika kita memiliki stasioneritas ketat marjinal, kita berharap juga stasioneritas ketat bersama bahkan di hadapan ketergantungan (meskipun kita tentu saja harus memeriksa.)

Saya akan mengatakan ya, karena memiliki representasi MA.

Satu pengamatan. Saya pikir memiliki representasi MA menyiratkan stasioneritas yang lemah, tidak yakin apakah itu menunjukkan stasioneritas yang kuat.